相對論/引力時間膨脹的過山車之旅

引力時間膨脹

假設你在加速的火箭裡玩你的紅色雷射筆，但你不是把它照射到火箭的另一側，而是直接照射到火箭的前端。那麼，光線會發生什麼變化嗎？

我知道答案！它會以光速筆直向前運動！

做得很好！你顯然學得很好。但無論如何，有些事情發生了。

什麼？

它的顏色改變了。你看，當光線在火箭中向上移動了距離h（相對於你在火箭中的位置而言）時，火箭的速度增加了δv = ah/c。這意味著，實際上，火箭前端的接收器正在以速度ah/c不斷遠離光源。現在，如果我們限制自己處於較低高度和較低加速度的情況下（即如果ah << c），這會產生一個多普勒頻移，等於

$\lambda =\lambda _{0}(1+ah/c^{2})$

現在我們知道引力的作用與加速度的作用完全相同，因此我們必須得出結論，當光線穿過引力場向上攀升時，它的波長會根據以下公式增加

$\lambda =\lambda _{0}(1+gh/c^{2})$

其中g是引力場強度（假設在距離h範圍內是均勻的）

我相信你知道質量為m的物體在引力場強度為g中被提升高度h的引力勢能為mgh。你也可能知道引力勢 ($\phi$) 定義為單位質量的引力勢能。因此，當你在引力場g中向上移動距離h時，引力勢的變化$\delta \phi$ 等於

$\delta \phi ={mgh \over m}=gh$

這意味著我們可以更一般地這樣寫多普勒頻移的方程

$\lambda =\lambda _{0}(1+\delta \phi /c^{2})$

光線需要攀升的引力勢能差越大，產生的多普勒頻移就越大。另一方面，由於c²項，頻移實際上非常小。半徑為R、質量為M的恆星表面的引力勢能等於

$\phi =-{GM \over R}$

（負號是必需的，因為引力勢能定義為距恆星無限遠時的零。在表面上，它小於零。有關此公式的證明，請參見附錄 H）

從恆星上升時，一束光線穿過引力勢能變化，等於

$\delta \phi ={GM \over R}$

因此，由質量為 M、半徑為 R 的恆星表面發射的光束所經歷的引力紅移公式為

$\lambda =\lambda _{0}\left(1+{GM \over Rc^{2}}\right)$

對於太陽，M = 2 × 10³⁰ kg，R = 7 × 10⁸ m，因此表示式GM/Rc² 計算結果為 2 × 10⁻⁶。小於百萬分之一的多普勒頻移非常小，對應於僅 600 ms⁻¹ 的後退速度——遠小於太陽表面原子熱運動引起的波長多普勒頻移，這使得效應難以探測。然而，這種效應是真實的，並且在更重的恆星的情況下，不應忽略。目前更重要的是這種分析對火箭兩端時間流逝速率的影響。

假設你用雷射筆指向火箭的前部，而不是照射雷射筆，你用它向位於前部的宇航員傳送時間訊號。如果你根據你的手錶每 T₀ 秒傳送時間訊號，這些訊號將像光束一樣發生多普勒頻移，你的朋友將每 T 秒收到時間訊號，其中

$T=T_{0}(1+\delta \phi /c^{2})$

這意味著（加速）火箭尾部的時鐘比前部的時鐘走得慢！這也意味著井底的時鐘比井口的時鐘走得慢！更重要的是，這種效應已經被證明了！儘管可能看起來令人難以置信，但在 1960 年的哈佛大學，在 22.5 m 的距離內觀察到了這種效應。（如果你想知道為什麼是這麼奇怪的距離，那是因為那是傑弗遜物理實驗室樓梯井的高度！）快速計算表明，在這個距離上的多普勒頻移等於 2.5 × 10⁻¹⁵。哈佛大學的科學家龐德和雷布卡所做的是建造了一個伽馬射線源和一個伽馬射線探測器，這兩個探測器都經過了精確的校準，如果源的頻率僅改變了這個量，探測器就會拒絕訊號。源和探測器一起放在井底，並完全匹配。然後將探測器搬到樓上，正如預期的那樣，訊號被拒絕。為了完全確認這種效應，源以穩定的速度向上移動到探測器。速度引起的藍多普勒頻移恰好足以抵消重力場引起的紅移，探測器又重新開始工作。這個速度是多少？當然，是光速的 2 × 10⁻¹⁵ 倍。你想讓我幫你算嗎？好的。結果是每小時 2.7 毫米！

這種效應也可以用高空飛行的飛機上的原子鐘來測量。你可能還記得，一架以 200 ms⁻¹ 的速度飛行 10 小時的噴氣式飛機的速度時間膨脹效應慢了 8 ns。現在假設飛機在這段時間內以 10,000 m 的高度飛行。這個高度與地面之間的重力勢能變化大約為 gh = 10 × 10,000 = 100,000 J kg⁻¹，因此飛機上的時鐘比地面的時鐘快 gh/c² 倍。在 10 小時的週期內，這相當於 40 ns，因此在這種情況下重力時間膨脹的影響實際上更大，並且與速度時間膨脹的影響方向相反。

目前提出的重力時間膨脹公式的推導有兩個缺點。首先，我使用了多普勒頻移的近似公式，該公式僅適用於 h 和 a 的較小值。更嚴重的是，它忽略了狹義相對論的二階效應，這是因為火箭在時間 t 內的速度增加（無論如何時間 t 是多少？）並不完全等於 at。為了生成適用於 ah 較大的情況的公式，我們需要考慮另一種產生人造重力的方法。

科幻作家喜歡將大型未來主義的空間站描述成一個大型輻條輪，緩慢地繞其軸旋轉。

離心空間站

當空間站旋轉時，位於外圍的宇航員會主觀地感覺到向外的力，這種力通常被稱為離心力（並且正確地稱為離心力），對他們來說就像重力一樣。從等待對接到空間站中心的太空梭觀察者的角度來看，我們可以看到，實際上發生的事情是空間站的金屬結構對宇航員施加了向內的力，使他們產生了向內的向心加速度，導致他們以圓周運動。

更正。我不允許說這實際上就是發生的事情。廣義相對論告訴我們，宇航員的觀點和我們的觀點一樣有效。那麼，從空間站上宇航員的角度來看，宇宙究竟是什麼樣的？對他們來說，空間站當然靜止不動。但空間站正在產生一種相當奇怪的重力，這種重力在空間站的中心為零，並且隨著你向邊緣移動而穩步增加。此外，重力的方向是向外的，而不是向內的。

現在你知道，質量為 m 的物體以角速度 ω 在半徑為 r 的圓周內旋轉的向心加速度等於 rω²，因此邊緣的重力強度為：g = Rω²（其中 R 是空間站的半徑），中心和邊緣之間的重力勢能差由下式給出

$\Delta \phi =\int _{0}^{R}r\omega ^{2}\,dr={\tfrac {1}{2}}R^{2}\omega ^{2}$

放置在中心和邊緣的時鐘怎麼樣？從我們在空間站外觀察者的角度來看，我們可以看到邊緣的時鐘比中心的時鐘走得慢，因為邊緣的時鐘在移動，而中心的時鐘沒有移動。實際上，我們可以使用狹義相對論時間膨脹公式寫下中心時鐘測量的 T_centre 時間與邊緣時鐘測量的 T_rim 時間之間的關係，如下所示

$T_{centre}={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,T_{rim}={1 \over {\sqrt {1-R^{2}\omega ^{2}/c^{2}}}}\,T_{rim}$

更一般地說，透過將 $R^{2}\omega ^{2}=2\Delta \phi$ 代入，我們可以寫下以下廣義公式，用於在存在重力勢能差的兩個點之間進行相對論時間膨脹

$T={1 \over {\sqrt {1-2\Delta \phi /c^{2}}}}\,T_{0}$

（如果你將此公式與我們在本頁前面推導的類似公式進行比較，你會發現後者只是此公式的二項式展開，近似到第二項。）

現在，空間站上的宇航員會觀察到與我們完全相同的時鐘膨脹效應——只是他們會用不同的方式解釋它。

（非常重要的是要注意，與速度時間膨脹一樣，重力時間膨脹是一種相對現象，它不依賴於重力的區域性強度，而是依賴於兩個點之間的重力勢能差。例如，在地球的中心，沒有重力——但那裡的時鐘仍然比地表的時鐘走得慢。）

關於時鐘就說這麼多——尺子呢？事情開始變得困難起來。假設，從我們在太空梭上的靜止鳥瞰角度來看，我們看到其中一名宇航員用米尺測量空間站的半徑。由於尺子始終與其運動方向垂直，我們可以看到它保持相同長度，他測量的半徑與我們的一致，即 R。

但是當他測量周長時會發生什麼呢？我們看到他的尺子由於速度而收縮了，因此他最終得到的答案不是預期的 2πR，而是比這個更大的數字！他該如何解釋呢？引力會改變像π這樣的基本數學常數嗎？不，我認為這太過了。我們可以說，引力以這樣的方式扭曲了空間結構，在非均勻引力場中，圓的周長不再等於 2π 乘以半徑。事實上，這是一個如此重要的結論，以至於它應該放在一個單獨的框中。

奇怪的結果第 19 個
在非均勻引力場中，空間是非歐幾里得的；單位圓的周長不等於 2π，三角形的角度不再加起來等於 180°。

那麼，在引力場中尺子會發生什麼？尺子會縮小嗎？

嗯，我發現很難對這個問題給出直接的答案。如果我用米尺測量一顆大恆星的半徑和周長（！），我發現周長小於 2π 乘以半徑，這是真的。（它之所以小於而不是大於，是因為真實的引力是吸引力，不像空間站內部的離心力，它是一種向外的力。）這似乎表明，當您將尺子帶入恆星內部越來越深的地方——即引力勢越來越低的地方——尺子會縮小。由於引力勢是一個標量，因此尺子必須向所有方向收縮，而不僅僅是平行或垂直於區域性引力場。但是，如果尺子向所有方向收縮，說它收縮還有意義嗎？事實是，引力的影響遠比尺子收縮更微妙。不，引力實際上扭曲了尺子存在的空間。但是要在這條路上走得更遠，需要用到遠超出我能力的數學概念。

虛無

哇！這有點奇怪你喊著，過山車衝上下一座山的山頂。我們現在去哪裡？你問。

我沒時間告訴你最後一個奇怪的結果，因為我們前面的過山車軌道水平延伸了幾米，然後——就停止了！

當列車到達軌道盡頭時，它傾斜了 90°，我們瞬間懸停在一個最可怕的景象之上。在我們下方是一條深不可測的豎井。沿著豎井的兩側是等距排列的電燈，但當我們向下看時，遠處的光線越來越紅，直到完全消失。在豎井的底部——不，沒有底部——只有無盡的黑暗。

突然，我們處於自由落體狀態；燈光在我們面前越來越快地閃爍；當我們抬頭時，我們留下的閃耀的藍天，先是變成了紫色，然後是紫外線，現在開始用 X 射線甚至伽馬射線照射我們；然後，我們從上面看到的無盡的黑暗似乎在擴大，直到它包圍了我們，甚至在我們的上方。曾經是我們地球家園的那一片明亮的伽馬射線光斑正在迅速消失，突然，它不見了。我們完全孤獨地沉浸在黑暗中，除了開始體驗一種非常不舒服的被拉伸和擠壓的感覺，我們沒有任何東西可以告訴我們身處何處或移動速度有多快。拉伸和擠壓迅速增加到我們的身體被肢解並拉成長長的細絲的程度，但我們已經超越了疼痛——我們已經進入了虛無......

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