相對論/黑洞過山車之旅

黑洞

1783年，約克郡索恩希爾教區教堂的牧師，一位名叫約翰·米歇爾的男子寫信給皇家學會，提出了一個非凡的想法。牛頓已經證明，對於每個行星，都存在一個臨界速度，稱為逃逸速度，如果你要將一塊石頭從行星表面拋向太空，就必須達到這個速度，並且很容易證明，對於質量為M、半徑為R的行星（或恆星），逃逸速度v由以下公式給出：

$v_{escape}={\sqrt {2GM \over R}}$

米歇爾的想法是這樣的。如果一顆恆星的質量非常大，或者它的體積非常小，以至於逃逸速度等於或大於光速，會發生什麼情況？根據當時在英國仍然流行的光的微粒理論，光永遠無法逃離這樣的恆星，即使它正在明亮地燃燒，在我們看來它也會完全是黑色的。這樣一顆“黑星”的半徑將等於

$R={2GM \over c^{2}}$

這個想法並沒有流行起來。在幾十年內，托馬斯·楊就相當有說服力地證明了光實際上是一種波，因此可能不受重力的影響。然而，我們現在已經證明，光確實會受到重力的影響，並且當它從恆星表面逃逸時，它並沒有減速——而是發生了紅移。

因此，米歇爾想法的現代等價物是這樣的。一顆恆星是否可能質量如此之大，以至於光會一直紅移到無限波長（或零頻率）？在這種情況下，它將變得完全不可見，就像米歇爾的微粒一樣。為了回答這個問題，我們必須使用引力時間膨脹的精確公式

$T={1 \over {\sqrt {1-2\Delta \phi /c^{2}}}}\,T_{0}$

並問問自己在什麼情況下T（在恆星表面觀察到的時間流逝速率）會變得無限大。答案當然是當

$1-2\Delta \phi /c^{2}=0$
$2\Delta \phi /c^{2}=1$

現在，恆星表面的引力勢為（見附錄H）

$\phi =-{}GM \over R$

所以，令Δφ = -φ，我們得到

${2GM \over Rc^{2}}=1$

因此

$R_{s}={2GM \over c^{2}}$

這恰好與米歇爾最初提出的公式完全相同！

這是黑洞的半徑——所謂的史瓦西半徑。（正如我們所看到的，實際半徑，即從中心到邊緣的距離，通常大於此，對於黑洞來說，它可能是無限的。這裡使用的半徑定義為周長除以2π。）

對於一個與太陽質量相同的黑洞，R_s大約為3公里。很明顯，我們自己的太陽距離成為黑洞還差得很遠，但理論物理學家和天文學家現在都相當確信，大多數質量大於約5個太陽質量的恆星都會以變成黑洞的方式結束生命。此外，星系中心存在超大質量黑洞已被廣泛接受，微型黑洞的存在也存在可能性。

一個原子大小的黑洞的質量是多少？答案是難以置信的10¹⁷千克，大約相當於一個直徑32公里的鐵隕石的質量。如果地球遇到其中一個，它要麼會導致一場足以消滅地球上所有生命的巨大爆炸，要麼，更有可能的是，它會在地球上鑽出一個整齊的洞，然後從另一側穿出來！

黑洞表面（或更準確地說，事件視界）的引力場強等於

$g_{s}={GM \over R_{s}^{2}}={c^{2} \over 2R_{s}}$

這意味著真正巨大的黑洞在其事件視界的引力場強非常適中。例如，一個質量為1.5萬億個太陽質量的黑洞（大約一千個星系）的史瓦西半徑約為半光年，表面引力場強為10 ms⁻²——與地球相同。如果你漫步到這個黑洞附近甚至內部，你不會感覺到任何你在地球上每天都沒有感受到的東西——但當然，無論你多麼努力，你都無法逃脫！

在考慮不同尺寸的黑洞的可能性時，考慮黑洞內部物質的密度是有啟發意義的。（出於我們這裡的目的，我們將假設黑洞“充滿”了密度均勻的物質，直到其事件視界。）令

$M={\tfrac {4}{3}}\pi R_{s}^{3}\rho$

我們得到

$R_{s}={8\pi R_{s}\rho G \over 3c^{2}}$

所以

$R_{s}={\sqrt {3c^{2} \over 8\pi \rho G}}={1.26\times 10^{1}3 \over {\sqrt {\rho }}}$

這意味著，用普通物質（例如密度為7000 kg/m⁻³的鐵）可以製造的最小黑洞的半徑將為1.5 x 10¹¹ m。巧合的是，這恰好與地球的軌道半徑相同。所以想象一下，整個太陽系延伸到地球都被鐵填充，你就得到了一個簡單的黑洞。它將擁有5100萬個太陽的質量，以及30,000 g的表面重力場！

實際上，這種情況相當學術化，因為，正如我之前所說，由於普通物質無法承受重力的壓碎效應，只需要大約5個太陽質量的普通物質就可以形成黑洞。另一方面，如果我們選擇用非常稀薄的物質製造黑洞，那麼中心的“壓力”根本不必很大。事實上，我們現在可能就生活在一個黑洞裡！如果是這樣，上面引用的最後一個公式可能正在告訴我們關於宇宙中物質數量與其所含物質密度之間關係的一些非常重要的資訊。

關於宇宙大小的當前理論表明，它可能具有約150億光年或1.4 x 10²⁶ m的“半徑”。將此資料代入公式，可得出宇宙的平均密度約為8 x 10⁻²⁷ kg/m⁻³。現在，單個氫原子的質量為1.7 x 10⁻²⁷ kg，因此這種密度對應於每立方米約5個氫原子。

估計宇宙的平均密度極其困難，但目前對恆星和星系中所有可觀測物質的平均密度做出的最佳估計約為0.3 x 10⁻²⁷ kg/m⁻³，即所需值的三十分之一。當你考慮這兩個資料最初是如何透過截然不同的途徑得出的時，你會驚訝地發現它們竟然如此接近。這意味著：如果宇宙的平均密度*小於*臨界密度，那麼我們生活在一個所謂的開放宇宙中。宇宙現在正在膨脹，並將永遠繼續膨脹。另一方面，如果我們的估計錯誤和/或我們發現了迄今尚未包含的其他型別的物質，並且宇宙的密度*大於*臨界密度，那麼我們實際上就生活在一個黑洞中；宇宙總有一天會停止膨脹，並向內坍縮。

最令人滿意的結果是，宇宙恰好具有使其成為完美黑洞的正確臨界密度——不多也不少。

如果是這樣，那絕非巧合。正如每個人都同意光速或引力質量恰好等於慣性質量並非巧合一樣，一定存在某種宇宙學上的總體原則，使得以下結論不可避免

宇宙學基本原理（目前未知）的深遠結果
每個可行的宇宙的密度都恰好等於其臨界密度

也許21世紀的某個愛因斯坦會提出一個天才的新原理，徹底改變我們對所居住宇宙的理解，並解釋為什麼事物是這樣。

你就是那個人嗎？

你永遠不知道——也許你就是！

別忘了——即使愛因斯坦也曾考試不及格！

最後的相遇

……但就在我們再也無法忍受的時候，拉伸和擠壓開始緩解，我們面前出現了一道紫色的光，它似乎越來越寬，越來越藍。電燈再次出現，但它們不像我們的燈。令人痛苦的黑暗消退，突然間，我們跌落到一片優美的風景中，那裡有藍色的天空、綠色的草地和遠處的紫色山丘。

然後到底發生了什麼？你問道。（你總是喜歡用生動的語言。）

確實，周圍的一切都顯得奇怪而陌生。草地有一種奇怪的感覺，天空的顏色也不太對。我撿起一塊石頭，然後把它扔下去。

好吧，物理定律在這裡似乎大體相同。

當我們環顧四周時，發現自己站在一個垂直豎井的邊緣。向下望去，我們看到遠處電燈發出的紅色光芒，以及那片令人痛苦的虛空。

我們已經穿過蟲洞進入了另一個宇宙。

突然轉身，我們看到一個奇怪的身影站在附近，伸出手。“歡迎，”他說，“你是來自地球嗎？來自你們星球的訪客偶爾也會來這裡……”

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