乘坐過山車體驗相對論/時間膨脹

時間膨脹

最簡單的時鐘是光束在兩個平行鏡之間來回反射。如果鏡子之間的距離為l，則每次“滴答”（即往返一次）的時間為t = 2l / c（當然，您還記得速度=距離除以時間，以及時間=距離除以速度）。電子電路完全可以計算“滴答”次數，並在小時、分鐘和秒鐘顯示相應結果。（我不知道是否有人真正製作過這種時鐘。如果時鐘的臂長為 1 米，它將以 6.7 GHz 的頻率“滴答”。這並不比普通 PC 的時鐘速度快多少。）

現在假設您正在觀察一艘以光速v 的相當大一部分速度飛行的宇宙飛船上的這種光鍾。 (當然你看不見光束，但你可以想象！) 時鐘的臂垂直於飛船的運動方向，因此當飛船經過時，您可以很容易地驗證臂的長度為l。另一方面，您可以看到 (想象！) 光束像這樣以對角線移動

由於基本原理，您看到光束以正常光速移動。這意味著光束往返行程l 的距離需要更長的時間，就像阿爾伯特在河上一樣（儘管原因略有不同）。實際上，飛船上的有效速度為 ${\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$ ，往返行程所需的時間為 $t={2l \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$

這意味著飛船上的時鐘 (以及其他所有東西) 似乎對我來說慢了 $c \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$ 倍，或者更常見地寫成 $1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 。這個因子通常稱為 $\gamma$ （希臘字母 γ），始終大於 1。它隨著v越來越接近c而上升到 $\infty$ 。

我們可以總結到目前為止的推論如下。如果煮一個雞蛋需要 T₀ 秒，對我來說，宇宙飛船中的雞蛋看起來需要 T 秒，其中

$T=\gamma T_{0}={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}T_{0}$

讓我們將一些資料代入公式，看看結果如何

v (以 c 的百分比表示)	$\gamma$
50	1.15
60	1.25
70	1.40
80	1.67
90	2.29
95	3.20
96	3.57
97	4.11
98	5.03
99	7.09

如果我們繪製這些資料的圖表，我們會得到以下結果

這意味著，如果您以光速的 50% 行進，您的時鐘比靜止的時鐘慢 15%。以光速的 80% 行進，您的時鐘慢 67%（即靜止時鐘速度的 3/5）。以光速的 99% 行進，您的每一秒相當於“靜止時鐘”的 7 秒多！

這太荒謬了！你說。我的意思是，如果所有時鐘都比正常速度慢 7 倍，那會是什麼樣的世界？那將是一個瘋狂的世界！一切都會顯得慢下來！汽車會以每小時 10 英里的速度緩慢爬行。一場足球比賽要花一整天！一塊石頭掉落，看起來像羽毛一樣輕！

等等，你的思路不太對。如果時鐘慢 7 倍，...

哦！我明白你的意思：你打斷道。如果時鐘變慢，石頭實際上會花 7 倍少的時間掉落，因此一切都會看起來更快！是這樣嗎？

不，不，那也不對！關鍵是不僅僅是時鐘變慢，一切都會變慢，可以說時間本身變慢了。當你觀察一塊石頭掉落並用秒錶計時時，石頭掉落很慢，時鐘滴答聲很慢，你的思維過程也會變慢。當石頭落地時，時鐘顯示出你期望的準確時間，整個過程看起來與平時一樣長。簡而言之，整個過程對你來說看起來很正常。實際上，對你來說不僅看起來很正常，對你來說就是很正常。您必須記住，時間只從另一個相對於您運動的人的觀點來看是被延展的（即拉伸的）。在您運動的宇宙飛船中，一切對你來說都很正常。只有我，站在靜止的地球上，才看到您的時鐘變慢，您的石頭像羽毛一樣掉落，您的雞蛋要花很長時間才能煮熟！

沉思片刻後，你感嘆道：這不可能！更重要的是，我可以證明！

那就繼續說吧。

你說宇宙飛船上的時鐘看起來變慢是因為宇宙飛船在運動，而你處於靜止狀態。但從我在宇宙飛船中的角度來看，地球上的時鐘看起來會變慢，因為正如你自己所說，所有速度都是相對的，你無法判斷誰在真正運動。

太棒了！你真的開始像相對論者一樣思考了！

你為什麼說太棒了？難道我沒有駁斥你的理論嗎？

不，沒有。兩個時鐘看起來都變慢有什麼問題？

這很明顯。你只需要把時鐘並排放在一起，看看哪個時鐘慢！

但你怎麼做呢？

嗯，當我從你身邊經過時，我們會同步我們的時鐘，然後過一段時間後，我們會看看哪個時鐘慢了。

但到那時你已經離我好幾百英里了。

好的，我會用無線電訊號傳送一個時間訊號給你。

但我們會對無線電訊號返回我這裡需要多長時間有不同的意見。

嗯——我必須先停止宇宙飛船，然後掉頭......

哈！你打算停止宇宙飛船！一旦你這麼做了，飛船的運動就不再是勻速的了，我們必須仔細檢查當時鐘的運動發生變化時會發生什麼。飛船的減速使情況變得不對稱，這意味著當把時鐘放回一起時，飛船上的時鐘確實會被發現比留在地球上的時鐘慢。

你確定嗎？

我當然確定。信不信由你，這個實驗實際上已經使用極其精確的原子鐘進行了，結果完全證實了愛因斯坦的理論。不過，這種效應非常小。假設你在地面上同步兩個時鐘，然後用一個時鐘以 200 ms-1 的速度飛行 10 個小時。根據狹義相對論，預期的時差是多少？（我必須說狹義相對論，因為在實際實驗中，廣義相對論的影響也必須考慮在內。）我們首先要做的是計算 200 ms⁻¹ 的速度下的 γ 值。如果你嘗試在計算器上計算，你會遇到一個問題。光速非常快。實際上，它每秒鐘能傳播 300,000 km，也就是 3 x 10⁸ ms-1。這意味著，如果你嘗試從 1 中減去這個數字，普通計算器只會給你 1 的答案，因為這個數字太小了，計算器沒有足夠的位數。

如果你瞭解一些指數，你就會知道公式

$\gamma =1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

也可以寫成

$\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}$

現在有一個非常有用的定理叫做二項式定理，它指出當 x 遠小於 1 時

$(1+x)^{n}=(1+nx)$

如果我們將這個定理應用於我們的公式，我們將得到一個更簡單的 $\gamma$ 表示式（但請記住，只有當 v 遠小於 c 時，這才是正確的）。

如果你嘗試使用這個公式在計算器上計算 $\gamma$ ，你仍然會在新增 1 時遇到困難，但你仍然可以確認，對於 v = 200 ms⁻¹ ， $\gamma$ = 1.00000000000022。

這意味著，對於移動時鐘測量的每一秒，靜止時鐘測量的 1.00000000000022 秒。在 10 個小時內，差異達到 10 x 60 x 60 x 0.00000000000022s，等於 0.000000008 s 或 8 ns，這很容易在原子鐘的測量範圍內。

注意，由於移動時鐘執行速度比靜止時鐘慢，當兩次旅行後比較這兩個時鐘時，移動時鐘的讀數將比靜止時鐘少一個 $\gamma$ 因子。

這意味著如果我旅行到一顆遙遠的恆星並返回，當我返回時，每個人都會比我老嗎？

當然了。假設在未來的某個世紀，你選擇乘坐湯姆遜星際巡洋艦以光速的 80% 的速度訪問距離地球 4 光年的半人馬座阿爾法星。對於你留在地球上的雙胞胎兄弟來說，旅程需要 (4 / 0.8 =) 5 年到達，5 年返回，總共 10 年。然而，從他的角度來看（他的觀點比你更特殊，因為他一直保持“靜止”），你的時鐘執行速度慢 1.67 倍，所以你只衰老了 10/1.67 = 6 年。

那麼，旅程到底需要多長時間？6 年還是 10 年？

兩者都是。你的時間是 6 年，他的時間是 10 年！你無法真正確定到底需要多少時間。這兩種觀點同樣有效。另一方面，每對事件之間都有一個所謂的固有時距，這是指以恆定速度在兩個事件之間移動的時鐘測量的事件之間的時間（或者，對於在同一地點發生的兩個事件，則是指靜止的時鐘測量的時間）。

我們正在考慮的旅程涉及三個事件

事件 A : 從地球出發

事件 B : 在半人馬座阿爾法星掉頭

事件 C : 返回地球

A 和 B 之間的固有時距是你的時鐘測量的事件之間的時間，即 3 年。同樣，B 和 C 之間的固有時距也是 3 年。但是 A 和 C 之間的固有時距不是 6 年，而是 10 年——這是你留在地球上的雙胞胎兄弟測量的事件之間的時間。你可以看到，固有時距不一定相加。如果你願意，可以將旅程時間定義為旅行者經歷的時間量，即旅程中每個部分的固有時距之和。在本例中，旅程時間是 6 年，固有時距是 10 年，但透過足夠快的移動，你可以將旅程時間縮短到任意短。如果你以光速的 99% 的速度前往半人馬座阿爾法星並返回，你可以在一年多一點的時間內完成旅程（而你的雙胞胎兄弟則衰老了大約 8 年）；以光速的 99.9% 的速度，旅程將不到 5 個月。這裡有一些例子

速度 (% of c)	固有時距 = 距離 / 速度	旅程時間 = 固有時距 / γ
50%	16.0 年	14 年
80%	10.0 年	6 年
90%	8.9 年	4 年
99%	8.1 年	1 年
99.9%	8.0 年	131 天
99.99%	8.0 年	41 天
99.999%	8.0 年	13 天

哇！你真的可以在兩週的假期裡到達半人馬座阿爾法星並返回嗎？這太酷了！

嗯，你可以花兩週的時間來回旅行，但你在地球上的老闆會非常生氣，因為他要等八年才能讓你回來。

此外，我們一直在使用的公式假設你可以立即將火箭加速到光速的 99.999%。如果你真的這麼做，裡面的人都會變成果凍！但是，也許可以以更溫和的加速度加速火箭很長時間，並逐漸積累足夠快的速度。讓我們看看這種可能性。

1g 火箭問題

假設我們建造了一艘可以以 1 g（10 ms-2）的連續加速度加速的火箭。我們從地球出發，以 1 g 的加速度加速，直到我們到達目標恆星的一半距離；然後掉頭，以相同的加速度減速；觀察一下恆星；再次加速返回一半的距離；掉頭，一路減速回到地球。（在這樣的火箭上生活就像在地球上一樣，因為加速度會產生人工重力的效果。）

在這種加速系統中，時間膨脹效應的公式如下

${aT \over c}=\sinh \left({aT' \over c}\right)$

其中，T' 為旅程的固有時間（即太空旅行者所經歷的時間），T 為地球上的人所經歷的（更長）時間；a 為飛船的加速度，c 當然就是光速。

如果我們用年和光年為單位，光速 c 自然就是每年 1 光年。

巧合的是，地球表面的重力加速度 g（10 ms⁻²）幾乎正好等於每年 1 光年²。請檢視下面的計算結果。

1 年 = 365 × 24 × 60 × 60 = 3.15 ×10⁷ s
光速為 3.00 × 10⁸ ms⁻¹，因此
1 光年 (ly) = 9.46 × 10¹⁵ m
光速當然就是 1 ly/年 (ly y⁻¹)
地球表面的重力加速度為 9.8 ms⁻²
它等於 9.8 × (3.15 × 10⁷)² /9.46 × 10¹⁵
= 1.03 光年每平方年 (ly y⁻²)

所以，將 a = g = 1 ly y⁻² 和 c = 1 ly y⁻¹ 代入我們的公式，得到

$T=\sinh(T')$

其中，T（和 T’）以年為單位。

（有關此公式和其他與 1g 加速火箭相關的有趣公式的證明，請參閱書末的附錄 A。）

在計算時間膨脹效應時，必須記住，必須分別計算旅程的每個四分之一。

下表列出了不同航程時長在地球上將經過多少年。由於 sinh 函式的指數性質，數字會急劇上升，可以看到，理論上，現在活著的人類可以在 60 年內返回地球，看看 650 萬年後的世界！

飛船上總時間（年）	飛船上四分之一時間（年）	地球上四分之一時間（年）	地球上總時間（年）
6	1.5	2.4	9.4
10	2.5	6	24
20	4	74	297
40	10	11,000	44,000
60	15	1,600,000	6,500,000

太不可思議了！你真的能透過建造一艘足夠快的火箭來進行時間旅行嗎？

不幸的是，這個夢想的實現面臨著兩個實際的困難。首先，需要建造一個能夠持續加速 1g 數十年的火箭發動機。遺憾的是，目前已知或理論上可行的推進系統都無法滿足這一要求。其次，以接近光速行駛的宇宙飛船很可能會被所有以接近光速撞擊它的微觀星際塵埃粒子摧毀。我們將在後面看到，一粒沙子大小的粒子以光速行駛時的動能等於一顆 600 萬噸級的炸彈的爆炸能量！

我明白了你的意思。無論如何，我還是不太相信。

你並不孤單。在 20 世紀 50 年代的很多年裡，著名的科學家們還在討論著著名的“孿生子佯謬”，即使在今天，網際網路上也充斥著一些帖子聲稱這種效應不可能實現或不符合邏輯。相信我，這是真的。

在第二個山頂

過山車現在幾乎到達了第二個山頂，當它短暫地減速時，你就可以環顧四周。在右邊，那個大鐘的指標看起來又開始正常移動了，但是不知何故，在我們越過第一個大下坡的短短一分鐘裡，這個鍾（在我們開始下坡時看起來比我們的鐘慢）卻莫名其妙地快了 2 分鐘。

真奇怪。我以為那個鍾變慢了。為什麼我的手錶好像慢了幾秒？

是的，確實很奇怪，對吧？這是“孿生子佯謬”的另一個例子。在我們沿著斜坡飛馳而下的時候，我們覺得其他人的鐘都變慢了。但當然，對其他人來說，是我們的鐘變慢了。這種差異只有在我們再次減速到爬行速度時才會顯現出來。

再告訴我一次，為什麼最終是我們的鐘比他們的鐘慢，而不是相反？

因為是我們改變了速度。靜止或勻速運動的物體處於所謂的慣性系。但我們的參考系不是慣性系，因為我們沿著山坡加速下降，並在再次上升時減速。始終處於慣性系中的人最終會比加速和減速的人更老。

是的，我想我明白了。

看看這個。

向下看，你會看到一個玩推硬幣的小孩用力地推他的硬幣。其他所有孩子的硬幣都太大了，無法掉進裂縫，但這個硬幣卻與眾不同。它看起來不是圓形的，而是橢圓形的，不可思議的是，它直接掉進了裂縫！

這是怎麼回事？ 我聽到你喊了起來。答案是

奇怪的結果二
運動的物體沿著運動方向會縮短。

抓住這個原則！我喊到。你還會需要它！過山車猛烈地向前傾斜，我們又向下俯衝……

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