抽象代數/代數

在本節中，我們將討論具有三個運算的結構。這些被稱為代數。我們將從定義域上的代數開始，它是一個具有雙線性向量積的向量空間。在給出一些例子之後，我們將繼續討論箭圖及其路徑代數。

域上的代數

定義 1：令 $F$ 為一個域，令 $A$ 為一個 $F$-向量空間，我們在這個空間上定義向量積 $\cdot \,:\,A\times A\rightarrow A$。則 $A$ 被稱為 關於 $F$ 的 代數，只要 $(A,+,\cdot )$ 是一個環，其中 $+$ 是向量空間加法，並且對於所有 $a,b,c\in A$ 和 $\alpha \in F$，

1. $a(bc)=(ab)c$,
2. $a(b+c)=ab+ac$ 以及 $(a+b)c=ac+bc$，
3. $\alpha (ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)$.

代數的 維數 是 $A$ 作為向量空間的維數。

注 2：子代數 的適當定義從定義 1 中可以清晰看出。我們把它的正式陳述留給讀者。

定義 2：如果 $(A,+,\cdot )$ 是一個交換環，$A$ 被稱為交換代數。如果它是一個除環，$A$ 被稱為除代數。我們保留術語實數代數和複數代數分別表示在 $\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ 上的代數。

我們邀請讀者檢查以下例子是否真的是代數的例子。

例子 3：設 $F$ 是一個域。向量空間 $F^{n}$ 在逐分量乘法下形成一個交換的 $F$-代數。

例子 4：四元數 $\mathbb {H}$ 是一個 4 維實數代數。我們留給讀者證明它不是一個 2 維複數代數。

例子 5：給定一個域 $F$，多項式向量空間 $F[x]$ 以自然的方式是一個交換的 $F$-代數。

例子 6：設 $F$ 是一個域。那麼，在 $F$ 上的任何矩陣環，例如 $\left({\begin{array}{cc}F&0\\F&F\end{array}}\right)$，以自然的方式產生了一個 $F$-代數。

箭圖和路徑代數

簡單來說，箭圖可以理解為一個有向圖，我們允許迴圈和平行邊。正式地，我們有以下內容。

定義 7：箭圖是四部分資料的集合，$Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)$,

1. $Q_{0}$ 是箭圖的頂點集合，
2. $Q_{1}$ 是邊集合，以及
3. $s,t\,:\,Q_{1}\rightarrow Q_{0}$ 是將每個邊分別與一個源頂點和一個目標頂點關聯的函式。

我們始終假設 $Q_{0}$ 非空，並且 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 是有限集。

例 8： 以下是箭圖的最簡單示例。

1. 一個點且沒有邊的箭圖，用 $1$ 表示。
2. 有 $n$ 個點且沒有邊的箭圖， $1\quad 2\quad ...\quad n$.
3. 有 $n$ 個點的線性箭圖， $1\,{\stackrel {a_{1}}{\longrightarrow }}\,2\,{\stackrel {a_{2}}{\longrightarrow }}\,...\,{\xrightarrow {a_{n-1}}}\,n$.
4. 最簡單的具有非平凡環的箭圖， $1{\underset {a}{\stackrel {b}{\leftrightarrows }}}2$.

定義 9： 設 $Q$ 為一個箭圖。$Q$ 中的路徑是指邊的一個序列 $a=a_{m}a_{m-1}...a_{1}$，其中對於所有 $i=2,...,m$，有 $s(a_{i})=t(a_{i-1})$。我們擴充套件了 $s$ 和 $t$ 的定義域，並定義 $s(a)\equiv s(a_{0})$ 和 $t(a)\equiv t(a_{m})$。我們定義路徑的長度為它包含的邊的數量，並記為 $l(a)=m$。對於箭圖的每個頂點 $i$，我們關聯平凡路徑 $e_{i}$，滿足 $s(e_{i})=t(e_{i})=i$ 且 $l(e_{i})=0$。一個滿足 $s(a)=t(a)=i$ 的非平凡路徑 $a$ 稱為 $i$ 處的定向迴圈。

箭圖之所以對我們有意義是因為它們提供了一種具體的構造某種代數族的方法，該族稱為路徑代數。

定義 10： 設 $Q$ 是一個箭圖，$F$ 是一個域。設 $FQ$ 表示由 $Q$ 的所有路徑生成的自由向量空間。在這個向量空間上，我們以明顯的方式定義向量積：如果 $u=u_{m}...u_{1}$ 和 $v=v_{n}...v_{1}$ 是滿足 $s(v)=t(u)$ 的路徑，則定義它們的積 $vu$ 為連線：$vu=v_{n}...v_{1}u_{m}...u_{1}$。如果 $s(v)\neq t(u)$，則定義它們的積為 $vu=0$。這個乘積使 $FQ$ 成為一個 $F$-代數，稱為 $Q$ 的 *路徑代數*。

引理 11： 設 $Q$ 是一個箭圖，$F$ 是一個域。如果 $Q$ 包含長度為 $|Q_{0}|$ 的路徑，則 $FQ$ 是無限維的。

證明： 透過計數論證，這樣的路徑必須包含一個有向迴圈，$a$，比方說。顯然 $\{a^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個線性無關集，使得 $FQ$ 是無限維的。

引理 12： 令 $Q$ 是一個箭圖，$F$ 是一個域。那麼 $FQ$ 是無限維的當且僅當 $Q$ 包含一個有向迴圈。

證明： 令 $a$ 是 $Q$ 中的一個有向迴圈。那麼 $FQ$ 是無限維的，根據上面的論證。反過來，假設 $Q$ 沒有迴圈。那麼箭圖的頂點可以被排序，使得邊總是從較低的頂點指向較高的頂點，由於任何給定路徑的長度都以 $|Q_{0}|-1$ 為上界，$FQ$ 的維數以 $\mathrm {dim} \,FQ\leq |Q_{0}|^{2}-|Q_{0}|<\infty$ 為上界。

引理 13： 令 $Q$ 是一個箭圖，$F$ 是一個域。那麼平凡邊 $e_{i}$ 形成一個正交冪等集。

證明： 這直接來自定義：$e_{i}e_{j}=0$ 如果 $i\neq j$ 並且 $e_{i}^{2}=e_{i}$.

推論 14： 元素 $\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}$ 是 $FQ$ 中的單位元。

證明： 證明在 $FQ$ 的生成元上進行即可。令 $a$ 是 $Q$ 中的一條路徑，其中 $s(a)=j$ 並且 $t(a)=k$。那麼 $\left(\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}\right)a=\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}a=e_{j}a=a$。類似地，$a\left(\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}\right)=a$.

待覆蓋

- 一般 R-代數