抽象代數/二元運算

集合 $A$ 上的二元運算是一個函式 $*:A\times A\rightarrow A$ 。對於 $a,b\in A$ ，我們通常寫 $*(a,b)$ 為 $a*b$ 。

性質

對於所有 $a,b\in A$ ， $a*b\in A$ 的性質稱為對 $*$ 的封閉性。

示例：兩個整數之間的加法產生一個整數結果。因此加法是整數上的二元運算。而整數的除法是一個不是二元運算的運算的例子。 $1/2$ 不是整數，所以整數在除法下不封閉。

為了表明集合 $A$ 在其上定義了一個二元運算 $*$ ，我們可以簡潔地寫成 $(A,*)$ 。集合和其上的二元運算的這種對被稱為二元結構。二元結構可能具有一些有趣的性質。我們將感興趣的主要內容概述如下。

定義：如果對於所有 $a,b,c\in A$ ， $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，則 $A$ 上的二元運算 $*$ 是結合的。

示例：整數的加法是結合的： $(1+2)+3=6=1+(2+3)$ 。但是請注意，減法不是結合的。實際上， $2=1-(2-3)\neq (1-2)-3=-4$ 。

定義： 在 $A$ 上的二元運算 $*$ 是交換的，是指對於所有的 $a,b\in A$ ， $a*b=b*a$ 。

例子： 有理數的乘法是交換的： ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}={\frac {ca}{bd}}={\frac {c}{d}}\cdot {\frac {a}{b}}$ 。請注意，除法不是交換的： $2\div 3={\frac {2}{3}}$ ，而 $3\div 2={\frac {3}{2}}$ 。還要注意，乘法的交換性依賴於整數乘法也是交換的這個事實。

練習

在四則運算中，加法、減法、乘法和除法，哪些是結合的？哪些是交換的？哪些有單位元？

答案

運算	結合性	交換性
加法	是	是
乘法	是	是
減法	否	否
除法	否	否

代數結構

二元運算是在代數結構中起作用的部分。

一個二元運算

在集合 A 上的封閉二元運算 o 被稱為magma (A, o )。

如果二元運算遵守結合律 a o (b o c) = (a o b) o c，那麼magma (A, o ) 是一個半群。

如果一個magma有一個元素 e 滿足 e o x = x = x o e 對於它裡面的每一個 x，那麼它是一個么半群。元素 e 被稱為關於 o 的單位元。如果一個么半群有元素 x 和 y 使得 x o y = e，那麼 x 和 y 是彼此的逆元。

一個magma，對於每一個方程 a x = b 都有一個解 x，並且每一個方程 y c = d 都有一個解 y，是一個擬群。一個么半群是一個圈。

一個么半群被稱為么半群。一個每個元素都有逆元的么半群是一個群。一個對於所有元素 x 和 y 都有 x o y = y o x 的群被稱為交換群。或者，它被稱為阿貝爾群。

兩個二元運算

一對結構，每個結構有一個運算，可以用來構建具有兩個運算的結構：將 (A, o ) 作為具有單位元 e 的交換群。令 A_ 表示從 A 中移除 e 後得到的 A，並假設 (A_ , * ) 是具有二元運算 * 的么半群，這個 * 對 o 是可分配的：

a * (b o c) = (a * b) o (a * c)。那麼 (A, o, * ) 是一個環。

在這個環的構造中，當么半群 (A_ , * ) 是一個群時，那麼 (A, o, * ) 是一個除環或斜域。當 (A_ , * ) 是一個交換群時，那麼 (A, o, * ) 是一個域。

兩個運算 sup (v) 和 inf (^) 被假定為交換的和結合的。此外，吸收性質要求：a ^ (a v b) = a，和 a v (a ^ b) = a。那麼 (A, v, ^ ) 被稱為格。

在一個格中，模等式是 (a ^ b) v (x ^ b) = ((a ^ b) v x ) ^ b。滿足模等式的格是一個模格。