抽象代數/克利福德代數

在數學中，克利福德代數是一種結合代數。它們可以被認為是複數和四元數的一種可能的推廣。克利福德代數的理論與二次型和正交變換的理論密切相關。克利福德代數在各種領域有重要的應用，包括幾何和理論物理。它們以英國幾何學家威廉·克利福德的名字命名。

閱讀本節時，對多線性代數的基本知識有所瞭解將很有用。

介紹和基本性質

具體而言，克利福德代數是一個么結合代數，它包含並由向量空間 V 生成，該向量空間配備了二次型 Q。克利福德代數 Cℓ(V,Q) 是由 V 生成的“最自由”的代數，受以下條件約束¹

$v^{2}=Q(v)\ {\mbox{ for all }}v\in V.$

如果底域 K 的特徵不為 2，那麼可以將這個基本恆等式改寫成以下形式

$uv+vu=\langle u,v\rangle {\mbox{ for all }}u,v\in V,$

其中 <u, v> = Q(u + v) − Q(u) − Q(v) 是與 Q 相關的對稱雙線性形式。這種“最自由”或“最一般”的代數受此恆等式約束的想法可以透過泛性質的概念來正式表達（見下文）。

克利福德代數與外代數密切相關。事實上，如果 Q = 0，那麼克利福德代數 Cℓ(V,Q) 僅僅是外代數 Λ(V)。對於非零 Q，當底域 K 的特徵不為二時，Λ(V) 和 Cℓ(V,Q) 之間存在一個規範的線性同構。也就是說，它們作為向量空間自然同構，但具有不同的乘法（在特徵為二的情況下，它們仍然作為向量空間同構，只是不是自然同構）。克利福德乘法嚴格來說比外積更豐富，因為它利用了 Q 提供的額外資訊。更準確地說，可以將它們看作是外代數的量子化，就像韋爾代數是對稱代數的量子化一樣。

特徵為 2 的二次型和克利福德代數構成了一個特殊情況。特別是，如果 char K = 2，那麼二次型是由其對稱雙線性形式決定的，或者每個二次型都承認正交基，這是不成立的。本文中的許多陳述都包含特徵不為 2 的條件，如果去除此條件，這些陳述就會失效。

泛性質和構造

令 V 是域 K 上的向量空間，令 Q : V → K 是 V 上的二次型。在大多數感興趣的情況下，域 K 要麼是 R 要麼是 C（特徵為 0）或者是一個有限域。

克利福德代數 Cℓ(V,Q) 是 K 上的一個么結合代數，以及一個線性對映 i : V → Cℓ(V,Q)，由以下泛性質定義：給定 K 上的任何結合代數 A 和任何線性對映 j : V → A，使得

j(v)² = Q(v)1 對於所有 v ∈ V

（其中 1 表示 A 的乘法單位元），存在唯一的代數同態 f : Cℓ(V,Q) → A，使得以下圖表可交換（即，使得 f o i = j）

使用對稱雙線性形式 <·,·> 而不是 Q（在特徵不為 2 的情況下），對 j 的要求是

j(v)j(w) + j(w)j(v) = <v, w> 對於所有 v, w ∈ V。

如上所述的克利福德代數始終存在，並且可以透過以下方式構建：從包含 V 的最一般代數開始，即張量代數 T(V)，然後透過取合適的商來強制基本恆等式。在我們的例子中，我們要取 T(V) 中由所有形式為

$v\otimes v-Q(v)1$ 對於所有 $v\in V$

的所有元素生成的雙邊理想 I_Q

並定義 Cℓ(V,Q) 為商

Cℓ(V,Q) = T(V)/I_Q.

然後很容易證明 Cℓ(V,Q) 包含 V 並且滿足上述泛性質，因此 Cℓ 在同構意義上是唯一的；因此人們談論“克利福德代數”Cℓ(V, Q)。從這個構造中也得出 i 是單射的。人們通常會省略 i 並將 V 視為 Cℓ(V,Q) 的一個線性子空間。

克利福德代數的泛性質表明 Cℓ(V,Q) 的構造本質上是函子性的。也就是說，Cℓ 可以被看作是從配備了二次型的向量空間範疇（其態射是保持二次型的線性對映）到結合代數範疇的函子。泛性質保證向量空間之間的線性對映（保持二次型）唯一地擴充套件到相關克利福德代數之間的代數同態。

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$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\mbox{ and }}0\leq k\leq n\}$

是 Cℓ(V,Q) 的一個基。空乘積 (k = 0) 定義為乘法單位元。對於每個 k 值，有 n 選擇 k 個基元，所以克利福德代數的總維數為

$\dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}.$

由於 V 配備了二次型，因此 V 有一組特權基：正交基。正交基是指滿足以下條件的基

$\langle e_{i},e_{j}\rangle =0\qquad i\neq j.\,$

其中 <·,·> 是與 Q 相關的對稱雙線性形式。基本克利福德恆等式意味著對於正交基，有

$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\qquad i\neq j.\,$

這使得正交基向量的操作非常簡單。給定一個 $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ 的乘積，其中 e _i 是 不同 的正交基向量，可以透過包含一個與正確排序所需的翻轉次數（即排序置換的符號）相對應的總符號將它們按標準順序排列。

如果特徵不是 2，則 V 存在正交基，並且可以輕鬆地將 V 上的二次型擴充套件到 Cℓ(V,Q) 上的二次型，要求當 {e _i} 是正交的時，不同的元 $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ 彼此正交。此外，我們設定

$Q(e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}})=Q(e_{i_{1}})Q(e_{i_{2}})\cdots Q(e_{i_{k}})$.

標量的二次型只是 Q(λ) = λ²。因此， V 的正交基擴充套件到 Cℓ(V,Q) 的正交基。以這種方式定義的二次型實際上獨立於所選擇的正交基（稍後將給出基無關的公式）。

示例：實克利福德代數和復克利福德代數

最重要的克利福德代數是在配備了非退化二次型的實向量空間和復向量空間上的克利福德代數。

有限維實向量空間上的每個非退化二次型都等價於標準對角形式

$Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}$

其中 n = p + q 是向量空間的維數。整數對 (p, q) 稱為二次型的符號。具有此二次型的實向量空間通常表示為 R^p,q。R^p,q 上的克利福德代數表示為 Cℓ_p,q(R)。符號 Cℓ_n(R) 表示 Cℓ_n,0(R) 或 Cℓ_0,n(R)，具體取決於作者更喜歡正定空間還是負定空間。

R^p,q 的標準正交基 {e _i} 由 n = p + q 個相互正交的向量組成，其中 p 個向量的範數為 +1， q 個向量的範數為 -1。因此，代數 Cℓ_p,q(R) 將有 p 個向量平方為 +1， q 個向量平方為 -1。

注意，Cℓ_0,0(R) 自然同構於 R，因為沒有非零向量。Cℓ_0,1(R) 是由單個向量 e₁ 生成的二維代數，它平方為 −1，因此同構於 C，即複數域。代數 Cℓ_0,2(R) 是一個由 {1, e₁, e₂, e₁e₂} 張成的四維代數。後三個元素平方為 −1，並且全部反交換，因此該代數同構於四元數 H。序列中的下一個代數是 Cℓ_0,3(R)，它是一個 8 維代數，同構於稱為克利福德雙四元數的直和 H ⊕ H。

我們也可以研究復向量空間上的克利福德代數。復向量空間上的每個非退化二次型都等價於標準對角形式

$Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}$

其中 n = dim V，因此本質上每個維度只有一個克利福德代數。我們將用標準二次型在 Cⁿ 上的克利福德代數記為 Cℓ_n(C)。可以證明代數 Cℓ_n(C) 可以透過代數 Cℓ_p,q(R) 的復化獲得，其中 n = p + q

$C\ell _{n}(\mathbb {C} )\cong C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} \cong C\ell (\mathbb {C} ^{p+q},Q\otimes \mathbb {C} )$.

這裡 Q 是簽名為 (p,q) 的實二次型。注意，復化不依賴於簽名。前幾個情況並不難計算。我們發現

Cℓ₀(C) = C

Cℓ₁(C) = C ⊕ C

Cℓ₂(C) = M₂(C)

其中 M₂(C) 表示 C 上的 2×2 矩陣代數。

事實證明，每個代數 Cℓ_p,q(R) 和 Cℓ_n(C) 都同構於 R、C 或 H 上的矩陣代數，或者同構於兩個這樣的代數的直和。有關這些代數的完整分類，請參見克利福德代數的分類。

性質

與外代數的關係

給定一個向量空間 V，我們可以構造外代數 Λ(V)，其定義獨立於 V 上的任何二次型。事實證明，如果 F 的特徵不為 2，則 Λ(V) 和 Cℓ(V,Q) 之間存在一個自然同構，它們被認為是向量空間（並且在特徵為 2 時存在一個同構，它可能不是自然的）。當且僅當 Q = 0 時，這是一個代數同構。因此，我們可以將克利福德代數 Cℓ(V,Q) 視為對 V 上的外代數的豐富（或者更準確地說，是量化，參見引言），其中乘法取決於 Q（我們仍然可以獨立於 Q 定義外積）。

建立同構的最簡單方法是為 V 選擇一個正交基 {e_i}，並將其擴充套件為 Cℓ(V,Q) 的正交基，如上所述。對映 Cℓ(V,Q) → Λ(V) 由以下決定

$e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.$

注意，這隻有在基 {e_i} 正交時才有效。可以證明這個對映獨立於正交基的選擇，因此它給出了一個自然同構。

如果 K 的特徵為 0，我們還可以透過反對稱化建立同構。定義函式 f_k : V × … × V → Cℓ(V,Q) 為

$f_{k}(v_{1},\cdots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}$

其中求和是對 k 個元素的對稱群求和。由於 f_k 是交錯的，因此它誘導了一個唯一的線性對映 Λ^k(V) → Cℓ(V,Q)。這些對映的直接和給出了 Λ(V) 和 Cℓ(V,Q) 之間的線性對映。可以證明這個對映是一個線性同構，而且它是自然的。

更復雜的方法是構建 Cℓ(V,Q) 上的過濾。回想一下，張量代數 T(V) 具有一個自然過濾：F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ … 其中 F^k 包含秩 ≤ k 的張量的和。將它投影到克利福德代數上，就會在 Cℓ(V,Q) 上產生一個過濾。相關的分級代數

$\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}$

自然同構於外代數 Λ(V)。由於濾波代數的關聯分級代數總是作為濾波向量空間與濾波代數同構（透過為所有 k 選擇 F^k 在 F^k+1 中的補集），這提供了一種同構（儘管不是自然的同構），在任何特徵中，甚至在特徵二中。

分級

由 $v\mapsto -v$ 定義的 V 上的線性對映保留了二次型 Q，因此根據克利福德代數的泛性質擴充套件到代數自同構

α : Cℓ(V,Q) → Cℓ(V,Q)。

由於 α 是一個對合（即它平方為恆等式），人們可以將 Cℓ(V,Q) 分解為正特徵空間和負特徵空間

$C\ell (V,Q)=C\ell ^{0}(V,Q)\oplus C\ell ^{1}(V,Q)$

其中 Cℓⁱ(V,Q) = {x ∈ Cℓ(V,Q) | α(x) = (−1)ⁱx}。由於 α 是一個自同構，因此得出

$C\ell ^{\,i}(V,Q)C\ell ^{\,j}(V,Q)=C\ell ^{\,i+j}(V,Q)$

其中上標以模 2 閱讀。這意味著 Cℓ(V,Q) 是一個 Z₂-分級代數（也稱為超代數）。請注意，Cℓ⁰(V,Q) 構成 Cℓ(V,Q) 的一個子代數，稱為 **偶子代數**。部分 Cℓ¹(V,Q) 稱為 Cℓ(V,Q) 的 **奇數部分**（它不是子代數）。這個 Z₂-分級在克利福德代數的分析和應用中起著重要作用。自同構 α 稱為 **主對合** 或 **等級對合**。

備註。在特徵不為 2 的情況下，代數 Cℓ(V,Q) 從與外代數 Λ(V) 的規範同構繼承了一個 Z-分級。然而，重要的是要注意，這只是一個 向量空間分級。也就是說，克利福德乘法不尊重 Z-分級，只尊重 Z₂-分級。令人高興的是，分級以自然的方式相關：Z₂ = Z/2Z。克利福德數的 度數 通常指的是 Z-分級中的度數。在 Z₂-分級中純粹的元素被稱為偶數或奇數。

如果 F 的特徵不為 2，則克利福德代數的偶子代數 Cℓ⁰(V,Q) 本身就是一個克利福德代數。如果 V 是範數為 Q(a) 的向量 a 和子空間 U 的正交直和，則 Cℓ⁰(V,Q) 同構於 Cℓ(U,−Q(a)Q)，其中 −Q(a)Q 是 Q 限制到 U 並乘以 −Q(a) 的形式。特別是在實數上，這意味著

$C\ell _{p,q}^{0}(\mathbb {R} )\cong C\ell _{p,q-1}(\mathbb {R} )$ 對於 q > 0，以及

$C\ell _{p,q}^{0}(\mathbb {R} )\cong C\ell _{q,p-1}(\mathbb {R} )$ 對於 p > 0。

在負定情況下，這給出了一個包含 Cℓ_0,n−1(R) ⊂ Cℓ_{0, n}(R)，它擴充套件了序列

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H⊕H ⊂ …

同樣，在複數情況下，可以證明 Cℓ_n(C) 的偶子代數同構於 Cℓ_n−1(C)。

反對合

除了自同構 α 之外，還有兩個反對合在克利福德代數的分析中起著重要作用。回想一下，張量代數 T(V) 帶有一個反對合，它反轉所有乘積中的順序

$v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}$.

由於理想的 I_Q 在此反轉下是不變的，此操作下降為 Cℓ(V,Q) 的一個反自同構，稱為轉置或反轉操作，用 x^t 表示。轉置是一個反自同構：$(xy)^{t}=y^{t}x^{t}$。轉置操作不使用Z₂-分級，因此我們透過組合 α 和轉置來定義第二個反自同構。我們將此操作稱為克利福德共軛，用 ${\bar {x}}$ 表示。

${\bar {x}}=\alpha (x^{t})=\alpha (x)^{t}.$

在這兩個反自同構中，轉置是最基本的。³

注意，所有這些操作都是對合。可以證明，它們在Z-分級中純淨的元素上作用為 ±1。事實上，所有三個操作都只依賴於模 4 的度數。也就是說，如果 x 是純淨的，度數為 k，那麼

$\alpha (x)=\pm x\qquad x^{t}=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x$

其中符號由下表給出

k mod 4	0	1	2	3
$\alpha (x)\,$	+	−	+	−	(−1)k
$x^{t}\,$	+	+	−	−	(−1)k(k−1)/2
${\bar {x}}$	+	−	−	+	(−1)k(k+1)/2

克利福德標量積

當特徵不為 2 時，V 上的二次型 Q 可以擴充套件到 Cℓ(V,Q) 的所有部分，如前所述（我們也用 Q 表示）。一個與基無關的定義是

$Q(x)=\langle x^{t}x\rangle$

其中 <a> 表示 a 的標量部分（Z-分級中的 0 級部分）。可以證明

$Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})$

其中 v_i 是 V 的元素 - 對於 Cℓ(V,Q) 的任意元素，此恆等式不成立。

Cℓ(V,Q) 上相關的對稱雙線性形式由下式給出

$\langle x,y\rangle =\langle x^{t}y\rangle .$

可以檢查到，當限制在 V 上時，這將簡化為原始的雙線性形式。Cℓ(V,Q) 上的雙線性形式是非退化的，當且僅當它在 V 上是非退化的。

不難驗證轉置是關於此內積的左/右克利福德乘法的伴隨。也就是說，

$\langle ax,y\rangle =\langle x,a^{t}y\rangle ,$ 以及

$\langle xa,y\rangle =\langle x,ya^{t}\rangle .$

克利福德代數的結構

在本節中，我們假設向量空間 V 是有限維的，並且 Q 的雙線性形式是非奇異的。K 上的中心簡單代數是具有中心 K 的（有限維）除代數上的矩陣代數。例如，實數上的中心簡單代數是實數或四元數上的矩陣代數。

• 如果 V 的維數為偶數，那麼 Cℓ(V,Q) 是 K 上的中心簡單代數。
• 如果 V 的維數為偶數，那麼 Cℓ⁰(V,Q) 是 K 的二次擴張上的中心簡單代數，或者 K 上兩個同構中心簡單代數的總和。
• 如果 V 的維數為奇數，那麼 Cℓ(V,Q) 是 K 的二次擴張上的中心簡單代數，或者 K 上兩個同構中心簡單代數的總和。
• 如果 V 的維數為奇數，那麼 Cℓ⁰(V,Q) 是 K 上的中心簡單代數。

克利福德代數的結構可以使用以下結果明確地計算出來。假設 U 的維數為偶數，並且具有判別式為 d 的非奇異雙線性形式，並且假設 V 是另一個具有二次形式的向量空間。U+V 的克利福德代數同構於 U 和 (−1)^dim(U)/2dV 的克利福德代數的張量積，即其二次形式乘以 (−1)^dim(U)/2d 的空間 V。在實數上，這尤其意味著

$Cl_{p+2,q}(\mathbb {R} )=M_{2}(\mathbb {R} )\otimes Cl_{q,p}(\mathbb {R} )$

$Cl_{p+1,q+1}(\mathbb {R} )=M_{2}(\mathbb {R} )\otimes Cl_{p,q}(\mathbb {R} )$

$Cl_{p,q+2}(\mathbb {R} )=\mathbb {H} \otimes Cl_{q,p}(\mathbb {R} )$

這些公式可用於查詢所有實克利福德代數的結構。

克利福德群 Γ

在本節中，我們假設 V 是有限維的，並且 Q 的雙線性形式是非奇異的。

克利福德群 Γ 定義為克利福德代數中所有可逆元素 x 的集合，使得

$xv\alpha (x)^{-1}\in V$

對於所有 V 中的 v。該公式還定義了克利福德群對向量空間 V 的作用，該作用保留範數 Q，因此給出了從克利福德群到正交群的同態。克利福德群包含所有具有非零範數的 V 中的元素 r，它們透過相應的反射作用於 V，將 v 變為 v − <v,r>r/Q(r)（在特徵 2 中，這些被稱為正交平移而不是反射）。

許多作者對克利福德群的定義略有不同，將作用 xvα(x)⁻¹ 替換為 xvx⁻¹。這會產生相同的克利福德群，但克利福德群對 V 的作用略有改變：克利福德群的奇數元素 Γ¹ 的作用乘以一個額外的因子 -1。這裡使用這種作用有幾個細微的優勢：它與通常的超代數符號約定一致，V 中的元素對應於反射，在奇數維中，從克利福德群到正交群的對映是滿射，並且核不超過 K^*。使用作用 α(x)vx⁻¹ 而不是 xvα(x)⁻¹ 不會造成任何區別：它會產生具有相同 V 作用的相同克利福德群。

克利福德群 Γ 是兩個子集 Γ⁰ 和 Γ¹ 的不相交併集，其中 Γⁱ 是度數為 i 的元素的子集。子集 Γ⁰ 是 Γ 中指數為 2 的子群。

如果 V 是具有非退化雙線性形式的有限維的，那麼克利福德群對映到 V 的正交群，並且核由域 K 中的非零元素組成。這會導致精確序列

$1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow O_{V}(K)\rightarrow 1,\,$

$1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow 1.\,$

在任意特徵下，旋量範數 Q 在克利福德群上定義為

$Q(x)=x^{t}x\,$

這是一個從克利福德群到K的非零元素群K^*的同態。當V被識別為克利福德代數的子空間時，它與V的二次型Q一致。一些作者對旋量範數的定義略有不同，因此它與這裡定義的旋量範數在Γ¹上相差一個-1、2或-2的因子。這種差異並不重要。

K的非零元素在域K的非零元素平方群K^*2中具有旋量範數。因此，當V是有限維且非奇異時，我們得到一個從V的正交群到群K^*/K^*2的誘導對映，也稱為旋量範數。向量r的反射的旋量範數在K^*/K^*2中的像為Q(r)，這個性質在正交群上唯一地定義了它。這給出以下精確序列

$1\rightarrow \{\pm 1\}\rightarrow Pin_{V}(K)\rightarrow O_{V}(K)\rightarrow K^{*}/K^{*2},\,$

$1\rightarrow \{\pm 1\}\rightarrow Spin_{V}(K)\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow K^{*}/K^{*2}.\,$

注意，在特徵為2的情況下，群{±1}只有一個元素。

旋群和Pin群

在本節中，我們假設V是有限維的，其雙線性形式是非奇異的。（如果K的特徵為2，這意味著V的維數是偶數。）

Pin群Pin_V(K)是克利福德群Γ中旋量範數為1的元素的子群，類似地，旋群Spin_V(K)是Pin_V(K)中迪克森不變數為0的元素的子群。當特徵不為2時，這些元素的行列式為1。旋群通常在Pin群中具有指標2。

回顧上一節，克利福德群到正交群存在一個同態。我們將特殊正交群定義為Γ⁰的像。如果K的特徵不為2，這僅僅是正交群中行列式為1的元素的群。如果K的特徵為2，那麼正交群的所有元素的行列式都為1，而特殊正交群是迪克森不變數為0的元素的集合。

從Pin群到正交群存在一個同態。它的像由旋量範數為1 ∈ K^*/K^*2的元素組成。它的核由元素+1和-1組成，並且階數為2，除非K的特徵為2。類似地，從旋群到V的特殊正交群存在一個同態。

在V是實數上的正定或負定空間的常見情況下，旋群對映到特殊正交群，並且當V的維數至少為3時是單連通的。警告：這在一般情況下並不成立：如果V是R^p,q，其中p和q都至少為2，那麼旋群就不是單連通的，並且不會對映到特殊正交群。在這種情況下，代數群Spin_{p,q作為代數群是單連通的，即使其實數值點Spinp,q(R)不是單連通的。這是一個相當微妙的點，它完全混淆了至少一本關於旋群的標準書籍的作者。}

旋量

假設p+q=2n是偶數。那麼克利福德代數Cℓ_p,q(C)是一個矩陣代數，因此具有一個維數為2ⁿ的復表示。透過限制到群Pin_p,q(R)，我們得到一個維數相同的Pin群的復表示，稱為旋量表示。如果我們將此限制到旋群Spin_p,q(R)，那麼它將分裂為兩個維數為2^n-1的半旋表示（或韋爾表示）。

如果p+q=2n+1是奇數，那麼克利福德代數Cℓ_p,q(C)是兩個矩陣代數的和，每個矩陣代數都具有維數為2ⁿ的表示，並且這些也是Pin群Pin_p,q(R)的表示。在限制到旋群Spin_p,q(R)時，它們變得同構，因此旋群具有一個維數為2ⁿ的復旋量表示。

更一般地說，任何域上的旋群和Pin群具有類似的表示，它們的精確結構取決於相應克利福德代數的結構：每當克利福德代數有一個因子是某個除環上的矩陣代數時，我們都會得到一個相應的Pin和旋群在該除環上的表示。關於實數上的例子，請參見關於旋量的文章。

應用

微分幾何

外代數的主要應用之一是在微分幾何中，它被用來定義光滑流形上的微分形式叢。在（偽）黎曼流形的情況下，切空間配備了由度量誘導的自然二次型。因此，可以類比外叢定義克利福德叢。這在黎曼幾何中有很多重要的應用。

物理學

克利福德代數在物理學中具有許多重要的應用。物理學家通常認為克利福德代數是一個由矩陣γ₁,…,γ_n生成的代數，這些矩陣稱為狄拉克矩陣，它們具有以下性質

$\gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,$

其中η是簽名為(p,q)的二次型的矩陣——通常在閔可夫斯基空間中工作時為(1,3)。這些正是克利福德代數Cl_1,3(C)的定義關係（除了一個無關緊要的因子2），根據克利福德代數的分類，它同構於4×4復矩陣的代數。

狄拉克矩陣最早由保羅·狄拉克在嘗試為電子編寫一個相對論性的二階波動方程時寫下，並給出了從克利福德代數到復矩陣代數的明確同構。結果用於定義狄拉克方程。整個克利福德代數在量子場論中以狄拉克場雙線性形式出現。

腳註

1. 處理實克利福德代數並偏好正定二次形式的數學家（特別是那些從事指標理論研究的數學家）有時會在基本克利福德恆等式中使用不同的符號選擇。也就是說，他們採用v² = −Q(v)。在從一種約定轉換為另一種約定時，必須將Q替換為−Q。
2. 當使用克利福德代數的備用 (-) 符號約定時，情況正好相反：共軛更重要。一般來說，當從一種符號約定轉換為另一種符號約定時，共軛和轉置的含義會互換。例如，在本文中使用的約定中，向量的逆由$v^{-1}=v^{t}/Q(v)$給出，而在 (-) 約定中，它由$v^{-1}={\bar {v}}/Q(v)$給出。

參考文獻

• Carnahan, S. Borcherds Seminar Notes, Uncut. 第 5 周，"旋量和克利福德代數"。
• Lawson 和 Michelsohn，Spin Geometry，普林斯頓大學出版社。1989。 ISBN 0-691-08542-0。關於克利福德代數及其在微分幾何中的應用的進階教科書。
• Lounesto，P.，Clifford Algebras and Spinors，劍橋大學出版社。2001。 ISBN 0-521-00551-5。
• Porteous，I.，Clifford Algebras and the Classical Groups，劍橋大學出版社。1995。 ISBN 0-521-55177-3。

外部連結

• Planetmath 上關於克利福德代數的條目
• 克利福德代數的歷史 （未經驗證）