抽象代數/合成序列

定義 2.7.1:

令 $G$ 為一個群。$G$ 的正規序列 是 $G$ 的有限個子群 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 使得

$\{e\}=N_{n}\triangleleft N_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft N_{1}=G$

兩個 $G$ 的正規序列 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 和 $M_{1},\ldots ,M_{k}$ 等價 當且僅當 $n=k$ 且存在一個雙射函式 $\sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ 使得對於所有的 $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

$N_{j}/N_{j+1}\cong M_{\sigma (j)}/M_{\sigma (j)+1}$

$G$ 的正規序列 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 是$G$ 的合成序列 當且僅當對於每個 $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$，群

$N_{j}/N_{j+1}$

是簡單的。

定理 2.7.2:

令 $G$ 為一個有限群。那麼存在 $G$ 的合成序列。

證明:

我們透過對 $|G|$ 進行歸納證明定理。

1. $|G|=1$。在這種情況下，$G$ 是平凡群，並且 $M_{1}$ 與 $M_{1}=G$ 是 $G$ 的一個合成序列。

2. 假設對於所有 $n\in \mathbb {N}$，$n<|G|$ 定理成立。

由於平凡子群 $\{e\}\subset G$ 是 $G$ 的一個正規子群，$G$ 的真正規子群集合不為空。因此，我們可以選擇一個真正規子群 $N$，其基數最大。這必然也是一個極大的真正規子群，因為包含它的任何群都必須至少具有相同的基數，因此，如果 $M$ 是正規子群，並且

$N\subsetneq M\subsetneq G$

，那麼

$|M|>|N|$

，這就是為什麼 $N$ 不是一個基數最大的真正規子群。

根據定理 2.6.?，$G/N$ 是單群。此外，由於 $|N|<|G|$，歸納假設表明 $N$ 存在一個合成序列，我們將其表示為 $N_{2},\ldots ,N_{n}$，其中

$\{e\}=N_{n}\triangleleft N_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft N_{2}=N$

。然後我們有

$\{e\}=N_{n}\triangleleft \cdots \triangleleft N_{2}=N\triangleleft N_{1}:=G$

, 並且對於每個 $m\in \{1,\ldots ,n-1\}$

$N_{m}/N_{m+1}$ 是一個單群。

因此，$N_{1},\ldots ,N_{n}$ 是 $G$ 的一個合成序列。 $\Box$

我們的下一個目標是證明，給定一個群的兩個正規序列，我們可以找到這兩個正規序列的兩個“細化”，它們是等價的。 首先，讓我們定義一下什麼是正規序列的細化。

定義 2.7.3:

令 $G$ 是一個群，令 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 是 $G$ 的一個正規序列。 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 的一個**細化**是一個正規序列 $N_{1}',\ldots ,N_{k}'$，使得

$\{N_{1},\ldots ,N_{n}\}\subseteq \{N_{1}',\ldots ,N_{k}'\}$

定理 2.7.4 (Schreier):

設 $G$ 是一個群，設 $N_{1},\ldots ,N_{n}$，$M_{1},\ldots ,M_{k}$ 是 $G$ 的兩個正規序列。則存在 $N_{1}',\ldots ,N_{m}'$ 對 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 的細化和 $M_{1}',\ldots ,M_{l}'$ 對 $M_{1},\ldots ,M_{k}$ 的細化，使得 $N_{1}',\ldots ,N_{m}'$ 和 $M_{1}',\ldots ,M_{l}'$ 等價。

證明:

定理 2.7.5（約當-霍爾德定理）:

設 $G$ 是一個群，設 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 和 $M_{1},\ldots ,M_{k}$ 是 $G$ 的兩個合成序列。則 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 和 $M_{1},\ldots ,M_{k}$ 等價。

證明:

根據定理 2.6.？，$\{N_{1},\ldots ,N_{n}\}$ 中的所有元素必須互不相同，$\{M_{1},\ldots ,M_{k}\}$ 中的元素也是如此。

根據定理 2.7.4，存在 $N_{1}',\ldots ,N_{m}'$ 的精細化，它是 $N_{1},\ldots ,N_{n}$ 的精細化，以及 $M_{1}',\ldots ,M_{l}'$ 的精細化，它是 $M_{1},\ldots ,M_{k}$ 的精細化，使得 $N_{1}',\ldots ,N_{m}'$ 與 $M_{1}',\ldots ,M_{l}'$ 等價。

但這些精細化滿足

$\{N_{1}',\ldots ,N_{m}'\}=\{N_{1},\ldots ,N_{n}\}$

以及

$\{M_{1}',\ldots ,M_{l}'\}=\{M_{1},\ldots ,M_{k}\}$

，因為如果不是這樣，我們將得到與定理 2.6 矛盾的結果。

現在我們選擇一個雙射 $\sigma :\{1,\ldots ,m\}\to \{1,\ldots ,m\}$，使得對於所有的 $j\in \{1,\ldots ,m-1\}$

$N_{j}/N_{j+1}\cong M_{\sigma (j)}/M_{\sigma (j)+1}$