抽象代數/群的定義，非常基本的性質

定義

以下定義是群論的起點。

定義 1.1:

一個群是一個集合$G$，以及一個函式

$G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy$

稱為乘法或二元運算，並簡單地用該群的並置表示，使得以下規則成立

1. 該合成律是結合的，也就是說，$\forall x,y,z\in G:(xy)z=x(yz)$
2. 對於給定的合成律，存在一個唯一的左單位元，也就是說，存在一個唯一的$e\in G$，使得$\forall g\in G:eg=g$。
3. 對於每個$g\in G$，都存在一個$g$的逆元，即$G$中的一個元素，記為$g^{-1}$，使得。

儘管群需要滿足的這些公理非常簡潔，但群可能非常複雜，並且對群的研究並非易事。例如，存在一個非常複雜的群，稱為怪獸群，它大約有$8\cdot 10^{53}$個元素，並且合成律如此複雜，以至於即使是現代計算機也很難在這個群中進行計算。

有一種特殊的群（即那些交換的群，即乘法滿足交換律），以著名的數學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾命名。

定義 1.2:

一個阿貝爾群是一個群，其二元運算交換，即，

$\forall x,y\in G:xy=yx$.

通常，阿貝爾群用加法表示，也就是說，對於$x$和$y$的二元運算，我們寫

$x+y$，而不是$xy$。

示例

例 1.3:

一個經典的群的例子是具有實數項的可逆$2\times 2$矩陣。正式地，這個群可以這樣寫下來

解析失敗 (未知函式 "\middle"): {\displaystyle GL_2(\mathbb R) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \middle| a, b, c, d \in \mathbb R, ad - bc \neq 0 \right\}} ;

我們使用了這樣一個事實：$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc$，並且一個矩陣可逆當且僅當它的行列式不為零。

例 1.4:

平凡群是一個只包含一個元素的群，我們稱之為$e$（也就是說，$G=\{e\}$），並且二元運算由我們唯一的選擇給出

$ee:=e$.

這個結構滿足所有群公理。

基本性質

這裡我們描述所有群共享的性質，這些性質是定義 1.1 的直接結果。

冪運算

如果$G$是一個群，$g\in G$是一個元素，並且$k\in \mathbb {Z}$，我們可以將$g$提升到$k$次冪。這是這樣工作的