抽象代數/分數域

我們從經驗中知道，我們透過考慮兩個整數的商的概念，得到了分數的概念。這背後的動機僅僅是為每個非零元素得到一個乘法逆元。因此，我們可以考慮一個整環 R 並構造它的分數域。然而，我們也可以嘗試對任何交換環做到這一點，即使它有除 0 之外的零因子。需要稍微改變一下，因為我們不能定義 ${\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}$ 當 bd=0 時。因此，如果 b 和 d 在乘法中是零因子，我們必須設定限制。在這種情況下，它被稱為環的區域性化。

定義

一個交換環 R 的乘法子集是一個不包含 0，包含 1 且在乘法下封閉的子集。乘法集的一些例子是整環中非零元素的集合，交換環中不是零因子的元素的集合，以及 R\P，其中 P 是交換環 R 的素理想。

設 S 為乘法子集。我們將考慮笛卡爾積 R×S。在這個積上定義等價關係：(a,b)~(c,d) 當且僅當存在一個 s 使得 s(ad-bc)=0。

如果它是一個整環，那麼 (a,b) 可以被視為 a/b。現在檢查它是否是一個等價關係，很明顯它是自反的和對稱的。為了證明它是傳遞的，設 (a,b)~(c,d) 且 (c,d)~(e,f)。那麼在 S 中存在元素 s 和 t 使得 s(ad-bc)=0 且 t(cf-de)=0。這意味著 stfad-stfbc=0 且 sbtcf-sbtde=0。將兩者相加，我們得到 stfad-sbtde=0，或 std(af-be)=0，這意味著 (a,b)~(e,f)。

因此，我們可以使用這些等價類來定義分數：${\frac {a}{b}}$ 是包含 (a,b) 的等價類。

現在我們把它設定為一個環。首先，我們將加法定義為 ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$，乘法定義為 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$。加法單位元是 ${\frac {0}{1}}$，加法逆元是 ${\frac {-a}{b}}$。乘法單位元就是 ${\frac {1}{1}}$。

現在我們將在下面證明它確實是一個環

定理

用定義的加法和乘法，分數的集合是一個交換環，如果 R 是一個整環，那麼分數也是。並且如果 S 額外地是 R\{0}，那麼分數的集合是一個域。

證明

首先，我們注意到

1. $({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})+{\frac {e}{f}}={\frac {ad+bc}{bd}}+{\frac {e}{f}}={\frac {(ad+bc)f+bde}{bdf}}={\frac {adf+b(cf+de)}{bdf}}={\frac {a}{b}}+{\frac {cf+de}{df}}={\frac {a}{b}}+({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}})$
2. ${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a\cdot 1+b\cdot 0}{b\cdot 1}}={\frac {a}{b}}$
3. $\forall c\in S:1_{R}(0\cdot 1-0\cdot c)=0\Rightarrow {\frac {0}{1}}={\frac {0}{c}}(*)$ 因此 ${\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {ab+b(-a)}{bb}}={\frac {0}{bb}}={\frac {0}{1}}$

，由此可知 $(R\times S,+)$ 是一個群。

由於 S 和 R 中的和的定義是可交換的，因此它是阿貝爾群。

此外， $(R\times S,\cdot )$ 是一個么半群，因為

1. ${\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1a}{1b}}={\frac {a}{b}}$
2. 以及 $({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}})\cdot {\frac {e}{f}}={\frac {ace}{bdf}}={\frac {a}{b}}\cdot ({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {e}{f}})$，其中兩個（不難的）中間步驟留給讀者。

同時，分配律也成立，因為

${\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)=\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right){\frac {a}{b}}={\frac {acf+ade}{bdf}}$ 以及

${\frac {acf+ade}{bdf}}={\frac {acbf+adbe}{bdfb}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}$

，這表明我們確實找到了一個環。

由於 S 和 R 中的乘積的定義是可交換的，因此該環是可交換的。

現在設 R 為一個整環，並設 ${\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in S$。 然後，由於 $(*)$ 並且因為 $bd\in S$，${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}=0\Leftrightarrow {\frac {ac}{bd}}=0\Leftrightarrow {\frac {ac}{bd}}={\frac {0}{bd}}\Leftrightarrow \exists s\in S:s(ac\cdot bd-0\cdot bd)=sacbd=0$。 然而，由於假設 R 為一個整環，並且 $s,b,d\neq 0$ 由於 $s,b,d\in S$，最後一個語句與 $\exists s\in S:a=0\vee c=0$ 等價，後者又與 $\exists s\in S:sab=s(ab-0b)=0\vee \exists s\in S:scd=s(cd-0d)=0$ 等價，而這與 ${\frac {a}{b}}=0\vee {\frac {c}{d}}=0$ 等價，這表明如果 R 是一個整環，則分數集也是一個整環。

現在假設 S = R \ {0}，並且 ${\frac {a}{b}}\neq 0\Leftrightarrow a\neq 0$，其中最後一個等價關係是由於 (*) 和 ${\frac {a}{b}}=0\Leftrightarrow \exists s\in S:s(a1-b0)=as1=as=0\Leftrightarrow a=0$，其中最後一個等價關係是由於 R 是一個整環，並且 S 不包含零。那麼 $ab\neq 0$，因為 R 是一個整環，因此 $ab\in S$，因為 S = R \ {0}，並且 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}$。但是由於 $\forall s\in S:s(ab1-ba1)=0$，我們有 ${\frac {ab}{ab}}=1$，並且 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$，因此，考慮到我們假設 R 是可交換的，我們可以得出 R\{0} 中的每個元素都是可逆的。

由此可知，分數集確實是一個域，因為我們已經檢查了所有域公理，證畢。