抽象代數/函式

定義

一個函式 $\operatorname {f}$ 是一個三元組 $(A,B,G)$ 使得

• $A$ 是一個集合，稱為 $\operatorname {f}$ 的定義域
• $B$ 是一個集合，稱為 $\operatorname {f}$ 的陪域
• $G$ 是 $A\times B$ 的一個子集，稱為 $\operatorname {f}$ 的圖

此外，以下兩個性質成立

1. $\forall x\in A,\exists y\in B\mid (x,y)\in G$.
2. $\forall x\in A,y\in B,y'\in B{\mbox{, then }}(x,y)\in G{\mbox{ and }}(x,y')\in G\Rightarrow y=y'$.

$\forall x\in A$ 我們寫作 $\operatorname {f} (x)$ 代表唯一一個 $y\in B$ 使得 $(x,y)\in G$.

我們說 $\operatorname {f}$ 是從 $A$ 到 $B$ 的一個函式，我們寫作

$\operatorname {f} :A\rightarrow B$

示例

讓我們考慮一個實數到實數的函式，它對它的引數進行平方運算。我們可以這樣定義它

$\operatorname {f} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f} :x\mapsto x^{2}$

備註

正如你在上面函式定義中看到的，定義域和陪域是定義的組成部分。換句話說，即使 $\operatorname {f} (x)$ 的值沒有改變，改變定義域或陪域也會改變函式。

讓我們看一下下面的四個函式。

函式

$\operatorname {f_{1}} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f_{1}} :x\mapsto x^{2}$

既不是單射也不是滿射（這些術語將在後面定義）。

函式

$\operatorname {f_{2}} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

$\operatorname {f_{2}} :x\mapsto x^{2}$

不是單射但滿射。

函式

$\operatorname {f_{3}} :\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f_{3}} :x\mapsto x^{2}$

是單射但不是滿射。

函式

$\operatorname {f_{4}} :\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

$\operatorname {f_{4}} :x\mapsto x^{2}$

是單射和滿射

正如你看到的，所有四個函式都有相同的對映，但所有四個函式都是不同的。這就是為什麼僅僅給出對映是不夠的；只有在知道函式的定義域和陪域的情況下才能定義函式。

像和原像

對於一個集合 $E$，我們用 ${\mathcal {P}}(E)$ 表示 $E$ 的所有子集的集合。

令 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。我們現在定義兩個相關的函式。

像 函式

$\operatorname {f} :{\mathcal {P}}(A)\rightarrow {\mathcal {P}}(B),S\subseteq A\mapsto \{\operatorname {f} (x)\mid x\in S\}$

原像 函式

$\operatorname {f^{-1}} :{\mathcal {P}}(B)\rightarrow {\mathcal {P}}(A),T\subseteq B\mapsto \{x\in A\mid \operatorname {f} (x)\in T\}$

需要注意的是，像和原像分別寫成 $\operatorname {f}$ 及其逆（如果存在）。但是，由於定義域不同，因此不會產生歧義。還需要注意的是，像和原像不一定是彼此的逆。（參見下面的雙射函式部分）。

我們定義 $\operatorname {Im} _{\operatorname {f} }:=\operatorname {f} (A)$，我們稱之為 $\operatorname {f}$ 的像。

對於任何 $y\in B$，我們稱 $\operatorname {f^{-1}} (\{y\})$ 為 $y$ 的支撐。

命題：令 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。那麼

1. $\forall S\subseteq A,S\subseteq f^{-1}(f(S))$
2. $\forall T\subseteq B,f(f^{-1}(T))\subseteq T$

示例

我們再次以函式為例

$\operatorname {f} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f} :x\mapsto x^{2}$

讓我們考慮以下例子

$\operatorname {f^{-1}} (\{4\})=\{-2,2\}$

$\operatorname {f^{-1}} (\mathbb {R} _{<0})=\emptyset$

$\operatorname {f} (\mathbb {R} _{\geq 0})=\mathbb {R} _{\geq 0}$

進一步定義

設 $\operatorname {f} :B\rightarrow C$ 和 $\operatorname {g} :A\rightarrow B$。我們定義 $\operatorname {f} \circ \operatorname {g} :A\rightarrow C$ 為 $(\operatorname {f} \circ \operatorname {g} )(x):=\operatorname {f} (\operatorname {g} (x))$，我們稱之為 $\operatorname {f}$ 和 $\operatorname {g}$ 的 **複合**。

設 $A$ 為一個集合。我們定義 A 上的 **恆等函式** 為

$\operatorname {id_{A}} :A\rightarrow A,x\mapsto x$

性質

定義：函式 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是 **單射** 的，如果

$\forall x\in A,x'\in A,\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (x')\Rightarrow x=x'$

引理：考慮一個函式 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 並假設 $A\neq \emptyset$。那麼 $\operatorname {f}$ 是單射當且僅當存在一個函式 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，滿足 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。
證明:
$'\Rightarrow '$:
假設 $\operatorname {f}$ 是單射。由於 $A\neq \emptyset$，我們可以定義 $m$ 為 $A$ 中的任意元素。我們可以定義一個合適的函式 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$ 如下

$\operatorname {g} (y):=\left\{{\begin{array}{ll}{\mbox{the unique }}x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y&{\text{, if }}y\in \operatorname {Im} _{\operatorname {f} }\\m&{\text{, else}}\\\end{array}}\right.$

現在很容易驗證 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。
$'\Leftarrow '$:
假設存在一個函式 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，滿足 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。那麼，$\forall x,x'\in A,\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (x')\Rightarrow \operatorname {g} (\operatorname {f} (x))=\operatorname {g} (\operatorname {f} (x'))\Rightarrow x=x'$。因此，$\operatorname {f}$ 是單射。
證畢。

定義：如果函式 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 滿足以下條件，則稱它為滿射。

$\forall y\in B,\exists x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y$

引理：考慮函式 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。則 $\operatorname {f}$ 是滿射當且僅當存在一個函式 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，滿足 $\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。
證明:
$'\Rightarrow '$:
假設 $\operatorname {f}$ 是滿射。我們可以定義一個合適的函式 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$ 如下

$\operatorname {g} (y):={\mbox{an }}x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y$

現在很容易驗證$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$.
$'\Leftarrow '$:
假設存在一個函式$\operatorname {g} :B\rightarrow A$，其中$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。那麼$\forall y\in B{\mbox{, let }}x:=\operatorname {g} (y)$。 那麼$\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (\operatorname {g} (y))=y$。 $\operatorname {f}$ 因此是滿射的。
證畢。

定義：一個函式$\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是雙射的，如果它是單射和滿射的。

引理：一個函式$\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是雙射的，當且僅當存在一個函式$\operatorname {g} :B\rightarrow A$，其中$\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$ 且$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。此外，可以證明這樣的$\operatorname {g}$ 是唯一的。我們將其寫作$\operatorname {f^{-1}} :B\rightarrow A$ 並稱之為$\operatorname {f}$ 的逆函式。
證明:
留作習題。

命題：考慮一個函式$\operatorname {f} :A\rightarrow B$。那麼

1. $f$ 是單射的當且僅當 $\forall S\subseteq A,f^{-1}(f(S))=S$
2. $f$ 是滿射的當且僅當 $\forall T\subseteq B,f(f^{-1}(T))=T$
3. $f$ 是雙射的當且僅當 $f$ 的像和原像互為逆。

示例： 如果 $A$ 和 $B$ 是集合，滿足 $B\subseteq A$，則存在一個顯然的單射函式 $i\,:\,B\rightarrow A$，被稱為包含 $B\subseteq A$，使得對於所有 $b\in B$，$i(b)=b$。

示例： 如果 $\sim$ 是集合 $X$ 上的等價關係，則存在一個顯然的滿射函式 $\pi \,:\,X\rightarrow X/\sim$，被稱為到 $X/\sim$ 的典型投影，使得對於所有 $x\in X$，$\pi (x)=[x]$。

定理： 定義等價關係 $\sim$ 在 $A$ 上，使得 $a\sim b$ 當且僅當 $f(a)=f(b)$。那麼，如果 $f:A\rightarrow B$ 是任何函式，$f$ 可以分解為以下複合函式：

$A{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}A/\sim {\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\mathrm {im} f{\stackrel {i}{\longrightarrow }}B$

其中 $\pi$ 是典範投影，$i$ 是包含對映 $\mathrm {im} \,f\subseteq B$，而 ${\tilde {f}}$ 是雙射，對於所有 $a\in A$，有 ${\tilde {f}}([a])=f(a)$。

證明：${\tilde {f}}$ 的定義直接意味著 $f=i\circ {\tilde {f}}\circ \pi$，因此我們只需要證明 ${\tilde {f}}$ 是良定義且雙射。設 $a,a^{\prime }\in A$。那麼 $[a]=[a^{\prime }]\,\Rightarrow \,a\sim a^{\prime }\,\Rightarrow \,f(a)=f(a^{\prime })$。這表明 ${\tilde {f}}([a])$ 的值與從 $[a]$ 中選擇的代表無關，因此它是良定義的。

對於單射性，我們有 ${\tilde {f}}([a])={\tilde {f}}([a^{\prime }])\,\Rightarrow \,f(a)=f(a^{\prime })\,\Rightarrow \,[a]=[a^{\prime }]$，所以 ${\tilde {f}}$ 是單射。

為了證明滿射性，假設 $b\in \mathrm {im} \,f$。則存在一個 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$，因此根據 ${\tilde {f}}$ 的定義，有 ${\tilde {f}}([a])=b$。由於 $b$ 在 $\mathrm {im} \,f$ 中是任意的，這證明了 ${\tilde {f}}$ 是滿射。

證畢。

定義： 給定一個函式 $f\,:\,X\rightarrow Y$，$f$ 是

(i) 單射，如果給定任意兩個函式 $g,h\,:\,W\rightarrow X$ 使得 $f\circ g=f\circ h$，則 $g=h$。

(ii) 滿射，如果給定任意兩個函式 $g,h\,:\,Y\rightarrow Z$ 使得 $g\circ f=h\circ f$，則 $g=h$。

定理： 集合之間的函式是

(i) 單射當且僅當它是單射的。

(ii) 滿射當且僅當它是滿射的。

證明: (i) 設$f\,:\,B\rightarrow C$ 是一個單態射。那麼，對於任何兩個函式$g,h\,:\,A\rightarrow B$，$f(g(a))=f(h(a))\,\Rightarrow \,g(a)=h(a)$ 對於所有$a\in A$。這是單射性的定義。反之，如果$f$ 是單射的，它有一個左逆$f^{\prime }$。因此，如果$f(g(a))=f(h(a))$ 對於所有$a\in A$，在左邊與$f^{\prime }$ 合成得到$g(a)=h(a)$，因此$f$ 是一個單態射。

(ii) 令 $f\,:\,A\rightarrow B$ 為一個滿同態。那麼對於任意兩個函式 $g,h\,:\,B\rightarrow C$， $g(f(a))=h(f(a))\,\Rightarrow \,g(b)=h(b)$ 對所有 $a\in A$ 和 $b\in B$ 成立。假設 $\mathrm {im} f\neq B$，即 $f$ 不是滿射。那麼至少存在一個 $b\in B$ 不在 $\mathrm {im} \,f$ 中。對於這個 $b$，選擇兩個在 $\mathrm {im} \,f$ 上重合但在 $\{b\}$ 上不同的函式 $g,h$。然而，我們仍然有 $g(f(a))=h(f(a))$ 對所有 $a\in A$ 成立。這違反了我們假設 $f$ 是滿同態的假設。因此，$f$ 是滿射。反之，假設 $f$ 是滿射。那麼滿同態性質直接得出。

證畢。

備註: 單同態與單射，滿同態與滿射之間的等價性是集合之間函式的一個特殊性質。在一般情況下，這不是真的，我們將在後面部分討論群或環之間的結構保持函式時看到這個性質的例子。

示例： 給定任意兩個集合 $A$ 和 $B$，我們有正則投影 $\pi _{A}\,:\,A\times B\rightarrow A$ 將 $(a,b)$ 對映到 $a$，以及 $\pi _{B}\,:\,A\times B\rightarrow B$ 將 $(a,b)$ 對映到 $b$。這些對映顯然是滿射的。

此外，我們還有自然包含 $i_{A}\,:\,A\rightarrow A\coprod B$ 和 $i_{B}\,:\,B\rightarrow A\coprod B$，如上所述，它們顯然是單射的。

泛性質

上面描述的投影和包含是特殊的，因為它們滿足被稱為泛性質的東西。我們將在下面給出定理。證明留給讀者。

定理： 設 $A,B,C$ 為任意集合。

(i) 設 $f\,:\,C\rightarrow A$ 和 $g\,:\,C\rightarrow B$。則存在唯一函式 $u\,:\,C\rightarrow A\times B$ 使得 $f=\pi _{A}\circ u$ 和 $g=\pi _{B}\circ u$ 同時滿足。 $u$ 有時記為 $f\times g$.

(ii) 令 $f\,:\,A\rightarrow C$ 和 $g\,:\,B\rightarrow C$。那麼存在一個 *唯一* 函式 $u\,:\,A\coprod B\rightarrow C$ 使得 $f=u\circ i_{A}$ 和 $g=u\circ i_{B}$ 同時滿足。

商集上的典型投影也滿足一個普遍性質。

定理： 定義等價關係 $\sim$ 在 $X$ 上，令 $f\,:\,X\rightarrow Y$ 為任何函式，使得 $a\sim b\,\Rightarrow \,f(a)=f(b)$ 對於所有 $a,b\in X$。那麼存在一個 *唯一* 函式 ${\bar {f}}\,:\,X/\sim \rightarrow Y$ 使得 $f={\bar {f}}\circ \pi$，其中 $\pi \,:\,X\rightarrow X/\sim$ 是典型投影。