抽象代數/整環

整環

動機：可除性概念是環論研究的核心。整環是研究可除性和唯一分解性等概念在哪些條件下表現良好的有用工具。事實上，它們對多項式環也很重要。

整環的定義在環頁面中已經給出。我們再次給出定義以供參考。

定義一個整環是一個交換環 $R$ ，其中 $1_{R}\neq 0_{R}$ ，使得對於所有 $a,b\in R$ ，語句 $ab=0$ 意味著要麼 $a=0$ 或者 $b=0$ 。

一個等價的定義如下

定義給定一個環 $R$ ，一個零因子是一個元素 $a\in R$ ，使得 $\exists x\in R,x\neq 0$ ，使得 $a*x=0_{R}$ 。

定義一個整環是一個交換環 $R$ ，其中 $1_{R}\neq 0_{R}$ ，並且沒有非零零因子。

備註整環具有有用的消去性質：令 $R$ 是一個整環，令 $a,b,c\in R$ 其中 $a\neq 0$ 。那麼 $ab=ac$ 意味著 $b=c$ 。因此整環有時被稱為消去環。

例子

在加法和乘法運算下，整數集 $\mathbb {Z}$ 是一個整環。但是，它不是一個域，因為元素 $2\in {Z}$ 沒有乘法逆元。
平凡環 {0} 不是一個整環，因為它不滿足 $0\neq 1$ .
整數模 6 的同餘類集 $\mathbb {Z} _{6}$ 不是一個整環，因為在 $\mathbb {Z} _{6}$ 中有 $[2]*[3]=[0]$ .

定理：任何域 $F$ 都是一個整環。

證明：假設 $F$ 是一個域，設 $a\in F,a\neq 0$ 。如果對於 $F$ 中的某個 $x$ 有 $ax=0$ ，則乘以 $a^{-1}$ 可得 $ax=0\Rightarrow a^{-1}(ax)=a^{-1}0\Rightarrow 1x=0\Rightarrow x=0$ 。因此， $F$ 不能包含任何零因子。因此， $F$ 是一個整環。 $\square$

定義如果 $R$ 是一個環，那麼 $x$ 的冪的多項式集合，其係數來自 $R$ ，也是一個環，稱為 $R$ 的多項式環，記為 $R[x]$ 。每個這樣的多項式都是有限個項的和，每個項的形式為 $rx^{n}$ ，其中 $r\in R$ 且 $x^{n}$ 代表 $x$ 的 $n$ 次方。多項式的前導項定義為多項式中包含 $x$ 最高次方的項。

備註多項式等於 $0$ 當且僅當它的每個係數都等於 $0$ 。

定理： 令 $R$ 是一個交換環，令 $R[x]$ 是 $x$ 的冪的多項式環，其係數是 $R$ 的元素。那麼 $R[x]$ 是一個整環當且僅當 $R$ 是一個整環。

證明如果交換環 $R$ 不是整環，它包含兩個非零元素 $a$ 和 $b$ 使得 $ab=0$ 。然後多項式 $ax$ 和 $bx$ 是 $R[x]$ 中的非零元素，並且 $axbx=abxx=0xx=0$ 。因此，如果 $R$ 不是整環，那麼 $R[x]$ 也不是整環。

現在令 $R$ 是一個整環，並令 $A$ 和 $B$ 是 $R[x]$ 中的多項式。如果這兩個多項式都不為零，則它們都具有非零的最高次項，分別稱為 $ax^{m}$ 和 $bx^{n}$ 。這些是多項式 $A$ 和 $B$ 的最高次項意味著這些多項式乘積 $AB$ 的最高次項為 $abx^{m+n}$ 。由於 $R$ 是一個整環，且 $a,b\in R$ ，則 $ab\neq 0$ 。這意味著，根據上面的備註，乘積 $AB$ 也不為零。這意味著 $R[x]$ 是一個整環。

唯一分解整環、主理想整環和歐幾里得整環

唯一分解整環、主理想整環和歐幾里得整環是僅對整環有效的概念。

一些定義

如果兩個環元素 a 和 b 滿足 a=ub，其中 u 是單位，則稱 a 和 b 是相伴元素，記為 a~b。
如果一個非零非單位元素 a 滿足 a=bc（b,c 在整環內）=>a~b 或 a~c，則稱 a 是不可約的。
如果 b=ar，其中 r 在 R 內，則稱 a 整除 b。當這種情況發生時，記為 a|b。
如果一個非零非單位元素 a 滿足 a|bc 意味著 a|b 或 a|c，則稱 a 是素元。

定理：如果 a 是素元，則 a 是不可約的。

令 a 是素元，並令 a=bc，所以 a|b 或 a|c。不妨假設 a|b，所以 b=ad，其中 d 是某一元素。然後你可以將 a=bc 分解為 a=adc，這意味著 cd=1，或者 c 是一個單位。

現在我們已經證明了所有素元都是不可約的，那麼反過來是否成立？答案是否定的，因為我們可以很容易地得到它的反例。但是，我們將證明一個充分必要條件，即所有不可約元素都是素元。

唯一分解整環

定義：令 R 是一個整環。如果滿足以下兩個條件：

如果 a 不為零，則 a=up₁p₂...p_n，其中 u 是一個單位，p_i 是不可約的。
令 a=uq₁q₂...q_m 是另一個不可約因子的分解。則 n = m，並且經過適當的重新排序，每個 p_i 和 q_i 都是相伴的。

那麼我們稱（整環）R 為唯一分解整環（UFD）。

上述定理的反過來在 UFD 中成立。

定理：在 UFD 中，所有不可約元素都是素元。

證明
令 a|bc，其中 a 是不可約的。則 ad=bc，其中 d 是某一元素。取分解式，a = ud₁d₂...d_l = vb₁b₂...b_mwc₁c₂...c_n = bc，其中 u、v 和 w 是單位。因為它是 UFD，a 必須與某個 b_i 或 c_i 相伴，這意味著 a|b 或 a|c。

以下定理給出了一個整環 R 是唯一分解整環的充分必要條件。

定理

設 R 為一個唯一分解整環。R 滿足關於**主理想**的**遞升鏈條件**：設 $a_{1},a_{2},a_{3},...$ 是 R 中元素的一個序列，使得主理想 $(a_{1}),(a_{2}),(a_{3}),...$ 滿足條件 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ,...$ 。則存在一個 N，使得對於所有 n>N，所有的 $(a_{n})$ 都相同。
如果一個整環 R 滿足遞升鏈條件，則每個非零元素都可以分解成不可約元素，這意味著它滿足成為唯一分解整環的第一個條件。
如果除了滿足遞升鏈條件之外，所有不可約元素都是素數，那麼這個整環就是唯一分解整環。

證明

考慮 R 中元素的一個序列 $a_{1},a_{2},a_{3},...$ ，使得 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ,...$ 。那麼顯然 $a_{n+1}|a_{n}$ 對所有自然數 n 都成立，因為 $a_{n}\in (a_{n+1})$ 。然後由於唯一分解， $a_{n+1}$ 的所有因子都是 $a_{n}$ 的因子的**相伴元素**，包括因子的重數。因此，非單位因子的數量在所有自然數上是遞減序列。然而， $a_{1}$ 只有有限個因子，因此存在一個 N，使得對於所有 n>N，所有因子都是 $a_{n}$ 的相伴元素，這意味著所有 $(a_{n})$ 也相同。
顯然，任何非零不可約元素 $a_{1}$ 都可以分解成不可約元素，它本身就是一個不可約元素。否則，設 $a_{1}=a_{2}b_{2}$ 是非單位元的乘積。如果這不是不可約元素的乘積，那麼假設其中一個不可約，例如 $a_{2}$ 。那麼很明顯 $a_{2}|a_{1}$ ，因此主理想滿足關係 $(a_{1})\subseteq (a_{2})$ 。我們可以以相同的方式分解 $a_{2}$ ，得到 $a_{2}=a_{3}b_{3}$ 作為非單位元的乘積。因此，如果 $a_{1}$ 不能分解成不可約元素，我們可以得到一個遞增鏈 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ...$ 的主理想，這意味著它不滿足升鏈條件。
設 $a=sp_{1}p_{2}p_{3}...p_{n}=rq_{1}q_{2}q_{3}...q_{n}$ ，其中r和s是單位元，每個 $p_{i}$ 和 $q_{i}$ 都是不可約的，因此也是素數。由於 $p_{1}$ 整除a，它整除其中一個因子，並且在適當重新排列第二個分解後， $p_{1}$ 可以整除 $q_{1}$ 。但是， $q_{1}$ 是不可約的，因此它們必須是相伴的，因此可以分解出來並用單位元替換。我們可以繼續這個過程，直到沒有因子剩下，此時我們得出結論，所有因子都是相伴的。

主理想整環

定義：主理想整環（PID）是一個整環，其中每個理想都可以由單個元素生成（即每個理想都是主理想）。

定理：所有PID都是UFD。

證明:
假設我們有一個主理想的遞增鏈 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq ...$ ，並令 I 為並集 $I=\bigcup _{i=1}^{\infty }(a_{i})$ 。顯然 I 是一個理想，並且是一個主理想，因為它在一個 PID 中。因此，它由單個元素生成， $I=(a)$ 。由於 $a\in I$ ， $a\in (a_{N})$ 對於某些 N。然後如果 $i\geq N$ ，那麼我們有 $(a)=(a_{N})$ ，因此它滿足主理想的遞增鏈條件。

令元素 $a$ 是不可約的。如果 $1\in (a)$ ，那麼 $a$ 將是一個單位，因此 (a) 必須是一個真理想。如果沒有包含 (a) 的最大真理想，那麼遞增鏈條件將不會得到滿足，所以我們可以得出結論，存在一個包含 (a) 的最大真理想 I（注意：這不需要 Zorn 引理或選擇公理，因為我們沒有使用關於最大理想的定理）。這個理想必須是一個主理想 (b)，但是由於 $a\in (b)$ ，b|a，並且由於 $a$ 是不可約的，b 必須是 a 的單位或伴隨。由於 (b) 是一個真理想，b 不能是單位，所以它必須是 $a$ 的伴隨。因此，(a)=(b)，所以 (a) 是最大的。然而，所有最大理想顯然都是素理想，所以 (a) 是一個素理想，這意味著 $a$ 是素數。

定理：UFD 是 PID 當且僅當每個非平凡素理想都是最大的。

證明:
假設 R 是一個 PID，因此它是一個 UFD。令 (a) 是 R 的一個理想，它反過來必須包含在一個最大真理想 (b) 中，這是由於遞增鏈條件（注意：同樣，這沒有使用 Zorn 引理）。由於 $a\in (b)$ ，b|a。由於 $a$ 是不可約的，b 必須是 a 的單位或伴隨。然而，由於 (b) 是一個真理想，它不能是單位，所以它必須是 $a$ 的伴隨。因此，(a)=(b)，所以 (a) 是最大的。反之，

歐幾里得域

定義：如果存在一個從 R 的非零元素到整數的函式 f，使得對於任何元素 $a\in R$ 和任何非零元素 b，都有 a=bq+r，其中 $q,r\in R$ 且 f(r)<f(b) 或 r=0，則稱積分域 R 為歐幾里得域（ED）。

注意：在 ED 中，可應用歐幾里得演算法來求最大公約數。

定理：所有 ED 都是 PID。

證明
假設我們有一個 R 的理想。如果它只包含 0，那麼它是主理想。否則，它包含除 0 以外的元素。那麼 f(I)，即 I 在 f 下的像，是一個非空的非負整數集。選擇該集合中的最小值 x，並考慮對映到該 x 的 I 內的一個元素 b。設 a 為 I 中的另一個元素，則存在 $q,r\in R$ 使得 a=qb+r，且 f(r)<f(b) 或 r=0。由於 a 和 b 都屬於 I，因此 r 也必須屬於 I，因為 r=a-qb。但是，f(b) 是最小值，因此它必須小於或等於 f(r)。因此，r 必須為 0，所以 a=qb，證明 b 是主理想 (b) 的生成元。