抽象代數/模

動機

設G是一個關於加法的阿貝爾群。我們可以透過 $\mathbb {Z}$ 的元素在G上定義一種乘法，寫成 $ng=\underbrace {g+g+\cdots +g} _{n}$ ，其中 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $g\in G$ 。當n為負數時，我們可以將其擴充套件到 $(-n)g=\underbrace {-g-g-\cdots -g} _{n}$ 。然而，我們希望能夠定義群與任意環之間的一種乘法。

定義

定義 1（模）

設R是一個環，M是一個阿貝爾群。如果存在一個函式

R\times M\to M\,:\,(r,m)\mapsto rm

，稱為標量乘法，滿足

$(r+s)m=rm+sm$ ,
$r(m+n)=rm+rn$ ，以及
$(rs)m=r(sm)$

對所有

r,s\in R,\ m,n\in G

成立。

我們稱R為M的標量環。

注意：我們也可以類似地定義右R-模，使用函式 $M\times R\to M\,:\,(m,r)\mapsto mr$ 。特別是，第三個性質變為

m(rs)=(mr)s

注意，如果R是交換環，則這兩個概念是重合的，在這種情況下，我們可以簡單地說M是一個R-模。

定義 2： 給定任意環 R，我們可以定義它的對立環， $R^{\mathrm {op} }$ ，它與 R 具有相同的元素和加法運算，但乘法相反。它們的乘法規則由 $r\cdot s=sr$ 關聯。與群論相反，一般情況下，環與其對立環之間沒有同構的理由。

細心的讀者會注意到，左 R-模 M 中的標量乘法僅僅是一個環同態 $\phi \,:\,R\to \mathrm {End} (M)$ ，使得 $rm=\phi (r)(m)$ 對於所有 $r\in R\,,\,m\in M$ 成立。我們將驗證右 R-模中的標量乘法是一個環同態 $\phi ^{\prime }\,:\,R^{\mathrm {op} }\to \mathrm {End} (M)$ 作為練習留給讀者。因此，右 R-模僅僅是左 R^op-模。由此可見，我們對左 R-模製定的所有結果也自動適用於右 R-模。這裡沒有假設模是么模，即對於所有 M 中的 m，1m = m。

模的例子

任何環 R 都是它自身上的 R-模。更有趣的是，R 的任何左理想 I 也是一個左 R-模，具有明顯的標量乘法。此外，如果 I 是 R 的雙邊理想，則商環 $R/I$ 是一個 R-模，具有誘導的標量乘法 $r(s+I)=rs+I\,,\,(s+I)r=sr+I$ 。
如果 R 是一個環，則 $n\times m$ 矩陣的集合 $M_{n,m}(R)$ （其元素為 R 中的元素）在逐元素加法和標量乘法下是一個 R-模。更一般地，對於任何集合 X，函式從 X 到 R 的集合 $R^{X}$ （無論是否具有有限支撐）都是一個以明顯方式定義的 R-模。
域 k 上的 k-模僅僅是 k-向量空間。
如本章引言所示，任何阿貝爾群都是一個 $\mathbb {Z}$ -模，以自然的方式。（這裡的“自然”具有嚴格的數學含義，稍後將解釋。）
設 S 是環 R 的一個子環。則 R 以自然方式是一個 S-模。我們可以將其擴充套件如下。設 S、R 是環， $\phi \,:\,S\to R$ 是一個環同態。則 R 是一個 S-模，標量乘法為 $sr=\phi (s)r$ 和 $rs=r\phi (s)$ ，對於所有 $s\in S\,,\,r\in R$ 成立。
環 R 的任何矩陣環在逐元素標量乘法下都是一個 R-模。
如果 S 是環 R 的一個子環，則任何左 R-模也是一個左 S-模，具有受限的標量乘法。我們將在後面更一般地討論這一點。

子模

定義 3： (子模)

給定一個左

R

-模

M

，

M

的一個子模是一個子集

N\subseteq M

，滿足

N 是 M 的一個子群，並且
對於所有 $r\in R$ 和所有 $n\in N$ ，我們有 $rn\in N$ 。

上述第二個條件說明子模在 $R$ 的元素左乘下是封閉的；隱含的是它們繼承了其包含模的乘法； $R\times N\to N$ 必須是 $R\times M\to M$ 的限制。

示例 4：任何模 M 都是其自身的子模，稱為不真子模，零子模僅由 M 的加法單位元組成，稱為平凡子模。

示例 5：左理想 I 是 R 的子模，其中 R 被視為 S-模，S 是 R 的任何（不一定真）子環。

引理 6：令 M 為一個左 R-模。則以下等價。

i) N 是 M 的子模

ii) 如果

r_{i}\in R

且

n_{i}\in N

對於所有

i\in I=\{1,\dots ,k\}\,,\,k\in \mathbb {N}

，則

\sum _{i\in I}r_{i}n_{i}\in N

。

iii) 如果

r_{1},r_{2}\in R

且

n_{1},n_{2}\in N

，則

r_{1}n_{1}+r_{2}n_{2}\in N

。

證明：i) => iii)：根據第二個性質， $r_{1}n_{1}$ 和 $r_{2}n_{2}$ 都屬於 $N$ ，那麼根據定義3的第一個性質， $r_{1}n_{1}+r_{2}n_{2}\in N$ 。

iii) => ii)：根據 $k$ 進行數學歸納法證明。

ii) => i)：令 $k=2$ ， $r_{1}=1\,,\,r_{2}=-1$ ，那麼對於任意的 $n_{1},n_{2}\in N$ ，都有 $n_{1}-n_{2}\in N$ ，證明了 $N$ 是一個子群。現在令 $k=1$ ，那麼對於任意的 $r_{1},n_{1}\in N$ ， $r_{1}n_{1}\in N$ ，證明了定義3中的性質2。 ∎

該引理給出了子模的一個替代特徵，以及那些在元素的線性組合下封閉的集合。

類似於向量空間的情況，我們可以用舊的子空間建立新的子空間。本小節的其餘部分將討論這個問題。

引理 7：令 M 為一個左 R-模，令 N 和 L 為 M 的子模。那麼 $N\cap L$ 是 M 中的一個子模，它是 N 和 L 中包含的最大子模。

證明：設 $a,b\in N\cap L$ 且 $r,s\in R$ 。則 $ra+sb\in N$ 且 $ra+sb\in L$ ，因為N和L是子模，所以 $ra+sb\in N\cap L$ ，且 $N\cap L$ 是M的子模。現在，假設S是M的一個子模，且包含於N和L。那麼任何 $a\in S$ 都必須在N和L中，因此在 $N\cap L$ 中，使得 $S\subseteq N\cap L$ ，從而證明了引理。 ∎

現在，正如讀者在這一點上所預料的那樣，給定M的子模N和L，並集 $N\cup L$ 通常不是一個子模。事實上，我們有以下引理

引理 8：設M是左R-模，且N和L是子模。則 $N\cup L$ 是一個子模當且僅當 $L\subseteq N$ 或 $N\subseteq L$ 。

證明：左向蘊含是顯然的。對於右向蘊含，假設 $N\cup L$ 是M的子模。然後如果 $n\in N$ 且 $l\in L$ ，則 $n+l\in N\cup L$ ，這意味著 $n+l\in M$ 或 $n+l\in L$ 。不妨假設 $n+l\in N$ 。然後，由於N是子模，我們必須有 $(n+l)-n=l\in N$ ，從而證明了 $L\subseteq N$ 。 ∎

定義 9：設M為一個左R-模，並設 $N_{i}$ 為子模，其中 $1\leq i\leq k\in \mathbb {N}$ 。則定義它們的和， $\sum _{i=1}^{k}N_{i}=\left\{\sum _{j=1}^{k}n_{j}\,:\,n_{j}\in N_{j}\right\}$ 。

定義 9 可以很容易地推廣到任意指標集上的求和。這個定義留給讀者自行陳述。在本章中，我們只需要用到有限情況。

引理 10：設M為一個左R-模，並設N和L為子模。則 $N+L$ 是M的一個子模，並且它是包含N和L的最小子模。

證明：很容易看出 $N+L$ 是一個子模。為了證明它是包含N和L的最小子模，設S為一個包含N和L的子模。則對於任何 $n\in N\subseteq S$ 和 $l\in L\subseteq S$ ，我們必須有 $n+l\in S$ 。但這與說 $N+L\subseteq S$ 相同，從而證明了該引理。∎

在建立了引理 7 和引理 10 後，我們可以陳述本小節的主要結果。

定義 11：設M為一個左R-模。則設 ${\mathcal {S}}(M)$ 為由集合包含關係排序的子模集。

引理 12：設M為一個左R-模。則 ${\mathcal {S}}(M)$ 構成一個格， $N,L\in {\mathcal {S}}(M)$ 的並由 $N\vee L=N+L$ 給出，它們的交由 $N\wedge L=N\cap L$ 給出。

證明：大部分工作已經完成。剩下的只是檢查結合律、吸收律和冪等律。結合律顯然成立， $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ 和 $(A+B)+C=A+(B+C)$ 對所有 $A,B,C\in {\mathcal {S}}(M)$ 成立。至於吸收律，我們需要檢查 $A+(B\cap A)=A$ 和 $A\cap (A+B)=A$ 對所有 $A,B\in {\mathcal {S}}(M)$ 成立，但這也很顯然。最後，我們顯然有 $A+A=A$ 和 $A\cap A=A$ 對所有 ${\mathcal {S}}(M)$ 成立，所以我們完成了證明。 ∎

推論 13：令 M 為一個左 R-模。則 ${\mathcal {S}}(M)$ 是一個模格。

注：回想一下， ${\mathcal {S}}(M)$ 是模格當且僅當只要 $A,B,C\in {\mathcal {S}}(M)$ 使得 $A\subseteq C$ ，我們有 $A+(B\cap C)=(A+B)\cap C$ 。

證明：令 $a\in A\,,\,b\in B\,,\,c\in C$ ，使得 $a+b=c$ 。由於 $A\subseteq C$ ，我們有 $a=c^{\prime }$ ，對於某個 $c^{\prime }\in C$ ，使得 $b\in C$ 。因此 $b\in B\cap C$ 且 $a+b\in A+(B\cap C)$ 。另一方面，我們有 $a+b\in A+B$ 且 $a+b=c\in C$ ，所以 $a+b\in (A+B)\cap C$ 。∎

定義 14：令M為一個左R-模。如果對於任何滿足 $N\subseteq L\subseteq M$ 的子模L，都有 $L=N$ 或 $L=M$ ，則稱子模N為極大的。

定理 15：有限生成的左R-模的每個子模都包含在一個極大子模中。

證明：令N為一個子模，並令 $S=\{L\in {\mathcal {S}}(M)\,|\,N\subseteq L\subset M\}$ 。則S是在集合包含關係下的偏序集。令 $\{U_{1},U_{2},\dots \}$ 為S中的一個鏈，並注意 $U=U_{1}+U_{2}+\cdots$ 是一個包含每個 $U_{i}$ 的子模，使得U是該鏈的上界。然後，由於S中的每個鏈都有一個上界，根據佐恩引理，S有一個極大元，記為P。P顯然是一個包含N的理想。根據S的定義，P也是M的一個極大子模，從而證明了該定理。∎

生成模

給定左 $R$ -模 $M$ 的一個子集 $A$ ，我們定義由 $A$ 生成的左子模為 $M$ 的最小子模（關於集合包含關係），該子模包含 $A$ 。出於稍後將闡明的原因，我們將其記為 $RA$ 。

這種子模的存在性源於這樣一個事實： $R$ -模的交集仍然是 $R$ -模：考慮 $M$ 的所有包含 $A$ 的子模的集合 $S$ 。由於 $M$ 包含 $A$ ，我們可以看到 $S$ 非空。 $S$ 中模的交集顯然包含 $A$ 並且是 $M$ 的一個子模。此外，任何包含 $A$ 的 $M$ 的子模也包含該交集。因此 $RA=\cap S$ 。

假設 $M$ 是么模，則 $RA$ 的元素有一個簡單的描述；

RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,a_{i}\in A\right\}

.

也就是說， $RA$ 中的每個元素都可以寫成 $A$ 元素的有限左線性組合。這個等式可以透過雙包含來證明：首先，任何包含 $A$ 的子模一定包含 $A$ 的所有左 $R$ -線性組合，因為模對於加法和左乘以 $R$ 的元素是封閉的。因此， $RA\supseteq \{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,a_{i}\in A\}$ 。其次，所有這些線性組合的集合形成了 $M$ 的一個包含 $A$ 的子模（使用 $n=1$ 和 $r_{1}=1_{R}$ ），因此它包含 $RA$ 。

由理想生成的子模

考慮任意環 $R$ ，左理想 $I\subseteq R$ ，以及左 $R$ -模 $M$ 。我們可以將 $I$ 視為 $R$ 的子環（當 $I\neq R$ 時為非么子環），因此 $M$ 是 $I$ -模，使用 $R$ 元素的正則乘法。

如果我們考慮集合 $IM=\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in I,m_{i}\in M\}$ ，我們將得到 $M$ 的一個子模。這源於我們關於生成子模的討論。然而，由於 $I$ 不是么子環，因此 $IM=M$ 並不一定成立。

因此，我們可以考慮商模 $M/IM$ 。顯然，這是一個 $R$ -模，但它也是一個 $R/I$ 模，在明顯的動作下。

命題

給定一個

R

-模

M

和

R

的理想

I

，則

R

-模

M/IM

是一個

R/I

-模，其乘法為

(r+I)(m+IM)=rm+IM

。

證明。

為了證明這是良定義的，我們觀察到如果

r+I=s+I

，則

r-s\in I

，因此

(rm+IM)-(sm+IM)=rm-sm+IM=(r-s)m+IM=0+IM

因為

(r-s)m\in IM

。因此，

(r+I)(m+IM)=rm+IM=sm+IM=(s+I)(m+IM)

這證明了

R/I

對

M/IM

的作用是良定義的。由此可知

M/IM

是一個

R/I

-模，僅僅因為它是一個

R

-模。

商模

回想一下，阿貝爾群 $M$ 的任何子群 $N$ 都可以構造一個等價關係；對於 $m,m^{\prime }\in M$ ，

m\sim m^{\prime }\iff m-m^{\prime }\in N

.

N 的陪集，即上述關係下的等價類，可以賦予一個由原群匯出的群結構，並命名為 M/N。兩個陪集 $m+N=[m]$ 和 $m^{\prime }+N=[m^{\prime }]$ 的和僅僅是 $(m+m^{\prime })+N=[m+m^{\prime }]$ 。

引理 16 令 M 為一個左 R-模，N 為其子模。則如上定義的 M/N 是一個左 R-模。

證明：M/N 顯然是一個阿貝爾群，因此我們只需要檢查它是否具有一個良定義的 R-作用。令 $r\in R$ 和 $m\in M$ 。然後我們定義 $r(m+N)=rm+N$ 。作用的分配律和結合律是從 M 繼承來的，因此我們只需要良定義性。令 $m,m^{\prime }\in M$ ，且 $m-m^{\prime }\in N$ 。則 $r(m-m^{\prime }+N)=r(m-m^{\prime })+N=N$ ，因為 N 是一個子模，因此得證。 ∎