抽象代數/數論

由於各種數系的數字構成了研究抽象代數時必須使用的基本單位，我們現在將定義自然數和有理整數以及加法和乘法等基本運算。利用這些定義，我們還將推匯出這些數集和運算的重要性質。在此之後，我們將討論數論中的重要概念；這將引導我們討論模 n 的整數的性質。

皮亞諾公理和自然數

定義：使用未定義的概念“1”和“後繼”（用 $'$) 表示），我們定義不包含零的自然數集 $\mathbb {N} ^{*}$，以下簡稱自然數，並給出以下公理，我們稱之為皮亞諾公理

公理 1. $\exists 1(1\in \mathbb {N} ^{*}).$

公理 2. $\forall a(a\in \mathbb {N} ^{*}\implies \exists b(b=a')).$

公理 3. $\lnot \exists a(a'=1).$

公理 4. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(\forall b\in \mathbb {N} ^{*}(a'=b'\implies a=b)).$

公理 5. $\forall A\subseteq \mathbb {N} ^{*}((1\in A)\land \forall a\in A(a'\in A)\implies A=\mathbb {N} ^{*}).$

我們可以使用數學歸納法來證明自然數的定理，這是第五個皮亞諾公理的結果。

加法

定義：我們使用兩個額外的公理遞迴定義自然數的加法，作為一種組合；加法的其他性質隨後可以從這些公理中推匯出來。我們用中綴運算子 + 表示加法。

公理 6. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(a+1=a').$

公理 7. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(\forall b\in \mathbb {N} ^{*}(a+b'=(a+b)')).$

上面的公理 6 依賴於第一個皮亞諾公理（關於 1 的存在）以及第二個（關於每個數字都有一個後繼的存在）。

從現在起，我們假設已證明的定理適用於所有$a,b,c,\ldots ,n$ 在 $\mathbb {N} ^{*}$ 中。

乘法

定義： 我們類似地為自然數遞迴地定義乘法，同樣使用兩個公理

公理 8. $a(1)=a.$

公理 9. $ab'=ab+a.$

加法的性質

我們首先證明加法是結合的。

定理 1： 加法的結合律：$(a+b)+c=a+(b+c).$

證明： 基本情況：根據公理 6 和 7，$a+(b+1)=(a+b)'$.

根據公理 6，$a+(b+1)=(a+b)+1$.

歸納假設：假設對於 $k'>1$，$(a+b)+k=a+(b+k)$.

歸納步驟：根據公理 7，$(a+b)+k'=\left[(a+b)+k\right]'$.

根據歸納假設，$(a+b)+k'=\left[a+(b+k)\right]'$.

根據公理 7，$(a+b)+k'=a+(b+k)'$.

根據公理 7，$(a+b)+k'=a+(b+k')$.

透過歸納法，$(a+b)+c=a+(b+c)$. QED.

引理 1： $a+1=1+a.$

證明： 基本情況：1+1=1+1。

歸納假設：假設對於 $k'>1$，$k+1=1+k$.

歸納步驟：根據公理 6，$k'+1=(k+1)+1$.

根據歸納假設，$k'+1=(1+k)+1$.

根據定理 1，$k'+1=1+(k+1)$.

根據公理 6，$k'+1=1+k'$.

根據歸納法，$a+1=1+a$. 證畢。

定理 2: 加法交換律：$a+b=b+a.$

證明： 基礎情況：根據引理 1，$a+1=1+a$.

歸納假設：假設對於$k'>1$，$a+k=k+a$.

根據公理 6，$a+k'=a+(k+1)$.

根據定理 1，$a+k'=(a+k)+1$.

根據歸納假設，$a+k'=(k+a)+1$.

根據定理 1，$a+k'=k+(a+1)$.

根據引理 1，$a+k'=k+(1+a)$.

根據定理 1，$a+k'=(k+1)+a$.

根據公理 6，$a+k'=k'+a$.

根據歸納法，$a+b=b+a$. 證畢。

定理 3: $a+b=a+c\implies b=c$.

證明： 基礎情況：假設 $1+b=1+c$.

根據定理 2，$b+1=c+1$.

根據公理 6，$b'=c'$.

根據公理 4，$b=c$.

歸納假設：假設對於$k'>1$，$k+b=k+c\implies b=c$.

歸納步驟：假設$k'+b=k'+c$.

根據公理 6，$(k+1)+b=(k+1)+c$.

根據定理 2，$(1+k)+b=(1+k)+c$.

根據定理 1，$1+(k+b)=1+(k+c)$.

根據基本情況，$k+b=k+c$。因此，$k'+b=k'+c\implies k+b=k+c$.

根據歸納假設，$k'+b=k'+c\implies b=c$.

根據歸納法，$a+b=a+c\implies b=c$。證畢。

乘法的性質

定理 4：乘法對加法的左分配律：$a(b+c)=ab+ac$.

證明：基本情況：根據公理 6 和 9，$a(b+1)=ab+a$.

根據公理 8，$a(b+1)=ab+a(1)$.

歸納假設：假設對於$k'>1$，$a(b+k)=ab+ak$.

歸納步驟：根據公理 7，$a(b+k')=a(b+k)'$.

根據公理 9，$a(b+k')=a(b+k)+a$.

根據歸納假設，$a(b+k')=(ab+ak)+a$.

根據定理 1，$a(b+k')=ab+(ak+a)$.

根據公理 9，$a(b+k')=ab+ak'$.

根據歸納法，$a(b+c)=ab+ac$. 證畢。

定理 5： $1a=a$.

證明： 基本情況：根據公理 8，1(1)=1。

歸納假設：假設對於$k'>1$，$1k=k$.

歸納步驟：根據公理 6，$1k'=1(k+1)$.

根據定理 4，$1k'=1k+1(1)$.

根據基本情況，$1k'=1k+1$.

根據歸納假設，$1k'=k+1$.

根據公理 6，$1k'=k'$.

根據歸納法，$1a=a$. 證畢。

定理 6： $a'b=ab+b$.

證明： 基本情況：根據公理 8，$a'(1)=a'$.

根據公理 6，$a'(1)=a+1$.

根據公理 8，$a'(1)=a(1)+1$.

歸納假設：假設對於$k'>1$，$a'k=ak+k$.

歸納步驟：根據公理 9，$a'k'=a'k+a'$.

根據歸納假設，$a'k'=ak+k+a'$.

根據公理 6，$a'k'=ak+k+(a+1)$.

根據定理 1，$a'k'=ak+(k+a)+1$.

根據定理 2，$a'k'=ak+(a+k)+1$.

根據定理 1，$a'k'=ak+a+k+1$

根據公理 9，$a'k'=ak'+k+1$.

根據定理 1，$a'k'=ak'+(k+1)$.

根據公理 6，$a'k'=ak'+k'$.

根據歸納法，$a'b=ab+b$. 證畢。

定理 7：乘法的結合律：$(ab)c=a(bc).$

證明：基本情況：根據公理 8，$ab(1)=ab=a\left[b(1)\right]$.

歸納假設：假設對於$k'>1$，$(ab)k=a(bk)$.

歸納步驟：根據公理 9，$(ab)k'=(ab)k+ab$.

根據歸納假設，$(ab)k'=a(bk)+ab$.

根據定理 4，$(ab)k'=a(bk+b)$.

根據公理 9，$(ab)k'=a(bk')$.

根據歸納法，$(ab)c=a(bc)$。QED。

定理 8：乘法的交換律：$ab=ba$。

證明：基本情況：根據公理 8 和定理 5，$a(1)=a=1a$。

歸納假設：假設對於$k'>1$，$ak=ka$。

歸納步驟：根據公理 9，$ak'=ak+a$。

根據歸納假設，$ak'=ka+a$。

根據定理 6，$ak'=k'a$。

根據歸納法，$ab=ba$。QED。

定理 9：乘法對加法的右分配律：$(a+b)c=ac+bc$。

證明：根據定理 4 和定理 7，$(a+b)c=ca+cb$。

根據定理 7，$(a+b)c=ac+bc$。QED。

整數

整數集合$\mathbb {Z}$ 可以由自然數的有序對 (a, b) 構造。我們定義了所有這些有序對集合上的等價關係，使得

$(a,b)\equiv (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.$

然後，有理整數集就是所有這些有序對的等價類的集合。我們將包含某個對 (a, b) 的等價類記為 [(a, b)]。那麼，對於任何自然數 a 和 b，[(a, b)] 表示一個有理整數。

整數加法

定義：我們定義整數的加法如下

$\left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right]=\left[(a+c,b+d)\right].$

使用這個定義和自然數的性質，可以證明整數加法是結合律和交換律。

整數乘法

定義：整數的乘法，就像加法一樣，可以用一個公理定義

$\left[(a,b)\right]\left[(c,d)\right]=\left[(ac+bd,ad+bc)\right].$

同樣，使用這個定義和前面證明的自然數的性質，可以證明整數乘法是交換律和結合律，而且它對於整數加法既是左分配律又是右分配律。