抽象代數/環同態

就像群一樣，我們可以研究同態來理解不同環之間的相似性。

同態

定義

令R和S為兩個環。則函式 $f:R\to S$ 稱為環同態，簡稱為同態，如果對於所有 $r_{1},r_{2}\in R$，滿足以下性質

$f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2}),$

$f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2}).$

換句話說，f 是一個環同態，如果它保留加法和乘法結構。

此外，如果R和S是有單位元的環，並且 $f(1_{R})=1_{S}$，則f被稱為單式環同態。

示例

1. 令 $f:\mathbb {Z} \to M_{2}(\mathbb {Z} )$ 為對映 $a\mapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}$ 的函式。那麼很容易檢查 $f$ 是一個同態，但不是一個單式環同態。
2. 如果我們定義 $g:a\mapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}}$，那麼我們可以看到 $g$ 是一個單式同態。
3. 零同態是將每個元素對映到其陪域的零元素的同態。

定理：令 $R$ 和 $S$ 為積分域，令 $f:R\to S$ 為非零同態。那麼 $f$ 是單式的。

證明： $1_{S}f(1_{R})=f(1_{R})=f(1_{R}^{2})=f(1_{R})f(1_{R})$。然後根據抵消律，$f(1_{R})=1_{S}$。

事實上，我們可以稍微減弱對R的要求（怎樣？）。

定理：設$R,S$是環，$\varphi :R\to S$是同態。設$R'$是$R$的子環，$S'$是$S$的子環。那麼$\varphi (R')$是$S$的子環，$\varphi ^{-1}(S')$是$R$的子環。也就是說，同態的核和像都是子環。

證明：證明略。

定理：設$R,S$是環，$\varphi :R\to S$是同態。那麼$\varphi$是單射當且僅當$\ker \varphi =0$。

證明：將$\varphi$視為$R$的加法群的群同態。

定理： 令 $F,E$ 為域，且 $\varphi :F\to E$ 為非零同態。則 $\varphi$ 是單射的，並且 $\varphi (x)^{-1}=\varphi (x^{-1})$。

證明： 我們知道 $\varphi (1)=1$，因為域是整環。令 $x\in F$ 為非零元素。則 $\varphi (x^{-1})\varphi (x)=\varphi (x^{-1}x)=\varphi (1)=1$。因此 $\varphi (x)^{-1}=\varphi (x^{-1})$。因此 $\varphi (x)\neq 0$（回想一下，你被要求證明單位元素非零）。因此 $\ker \varphi =0$。

同構

定義

令 $R,S$ 為環。 $R$ 和 $S$ 之間的同構是指可逆同態。如果存在同構，則稱 $R$ 和 $S$ 同構，記作 $R\cong S$。與群一樣，同構告訴我們兩個物件在代數上是相同的。

示例

1. 上面定義的函式 $g$ 是一個從 $\mathbb {Z}$ 到大小為 2 的整數標量矩陣集合 $S=\left\{\lambda I_{2}|\lambda \in \mathbb {Z} \right\}$ 的同構。
2. 類似地，函式 $\varphi :\mathbb {C} \to M_{2}(\mathbb {R} )$ 將 $z\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ 對映（其中 $z=a+bi$）是一個同構。這被稱為複數的 *矩陣表示*。
3. 由 ${\mathcal {F}}(f)=\int _{\mathbb {R} }f(t)e^{-i\omega t}dt$ 定義的 *傅立葉變換* ${\mathcal {F}}:L^{1}\to L^{1}$ 是一個將可積函式和逐點乘法對映到可積函式和卷積乘法的同構。

練習： 從環到自身的同構稱為 *自同構*。證明以下函式是自同構

1. $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(a+bi)=a-bi$
2. 定義集合 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}|a,b\in \mathbb {Q} \right\}$，並設 $g:\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\to \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),g(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}}$