抽象代數/環

本節在上一章關於群的理論基礎上進行構建和擴充套件。強烈建議讀者在繼續學習之前掌握本章節中直到“乘積和自由群”部分的所有內容。

動機

研究環的標準動機是將其作為整數集 $\mathbb {Z}$ 的加法和乘法的推廣，以便在更一般的、限制更少的環境中研究類似整數的結構。然而，我們也將展示以下基於阿貝爾群理論的環研究動機。

設 $G$ 和 $H$ 是阿貝爾群。那麼，集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,H)$ （現在請先不要太關注下標）由群同態 $\phi \,:\,G\rightarrow H$ 自然構成一個阿貝爾群，方法如下。如果 $\phi ,\psi \in \mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,H)$ ，定義 $(\phi +\psi )(g)=\phi (g)+\psi (g)$ 對於所有的 $g\in G$ 。每個加法在哪進行應該很明顯。特別地，我們可以考慮集合 $\mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,G)$ ，即從 $G$ 到自身的同態。從上面的討論中可以明顯看出，該集合是一個群，但它在複合運算下也封閉。透過賦予集合 $\mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)$ 加法運算 $+$ 和複合運算 $\circ$ ，我們注意到它具有以下性質

i) 在加法下構成一個阿貝爾群。

ii) 在乘法下構成一個么半群。

iii) 加法對複合運算分配。

事實上，對於第三個性質，注意如果 $\phi ,\psi ,\xi \in \mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)$ 和 $g\in G$ ，那麼 $\phi \circ (\psi +\xi )(g)=(\phi \circ \psi +\phi \circ \xi )(g)$ 和 $(\phi +\psi )\circ \xi (g)=(\phi \circ \xi +\psi \circ \xi )(g)$ 。以下內容是對這種情況的推廣。

環論簡介

定義 1: 一個環 $(R,+,\cdot )$ 是一個集合 $R$ ，具有兩個二元運算 $+$ 和 $\cdot$ ，滿足以下性質

對於所有 $a,b,c\in R,$

i)

(R,+)

是一個阿貝爾群。

ii)

(R,\cdot )

是一個么半群。

環同態的定義不包含 1 的存在。

iii)

\cdot

對

+

是可分配的

1)

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

2)

(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)

我們將用 $0_{R}$ 或 $0$ 來表示環中的加法單位元（如果環是已知的）。類似地，我們將用 $1_{R}$ 或 $1$ 來表示乘法單位元（如果環是已知的）。我們經常用並置來代替 $\cdot$ ，即， $ab\,$ 代表 $a\cdot b$ 。

備註 2: 一些作者不要求他們的環具有乘法單位元。我們將不具有單位元的環稱為擬環。偽環是另一個用於不具有單位元的環的術語。不具有乘法單位元的作者通常將環稱為具有單位元的環。除非另有說明，我們假定我們的環中 $0\neq 1$ 。非交換環理論的主要部分是在不假設每個環都具有單位元的情況下發展起來的。

示例 3：讀者已經熟悉了幾個環的例子。例如 $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ ，以及它們通常的加法和乘法運算。對於整數 $n\geq 2$ ，我們有一個由集合 $\mathbb {Z} _{n}$ 給出的有限環族，其加法和乘法定義為模 $n$ 。最後我們有一個由集合 $n\mathbb {Z}$ 給出的 *環* 的例子，其中整數 $n\geq 2$ ，並使用通常的加法和乘法。讀者可以驗證這些例子中的環公理。

現在讓我們證明一些關於環的基本性質。這類似於我們第一次介紹群時所做的事情。

定理 4：設 $R$ 為一個環，並設 $a,b,c\in R$ 。那麼以下成立

如果 $a+b=a+c$ ，那麼 $b=c$ 。
方程 $a+x=b$ 有唯一的解。
$-(-a)=a$
$0a=0$
$(-a)b=-(ab)$
$(-a)(-b)=ab$

證明： (1)、(2) 和 (3) 都嚴格涉及加法，並且都是來自 $(R,+)$ 是一個群的先前結果。另外三個部分都涉及加法和乘法（因為 0 和 - 是加法概念），因此作為證明策略，我們期望以某種方式使用分配律來將這兩個運算聯絡起來。對於 (4)，觀察到 $0a+0a=(0+0)a=0a=0a+0$ 。然後根據 (1)，0a=0。對於 (5)，注意 $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$ 。對於 (6)，注意 $(-a)(-b)+-(ab)=(-a)(-b)+(-a)b=-a(-b+b)=-a0=0$ 。 ∎

註記 5： 再次看一下示例 3 中的例子。請注意，對於所有這些環，乘法都是可交換的。然而，公理並沒有說明這一點。因此，我們應該期望找到反例。

定義 6： 如果乘法是可交換的，則稱為環可交換。

示例 7： 非可交換環的一個例子是集合 ${M}_{n}(\mathbb {R} )$ 中的 $n\times n$ 方陣，其係數為實數，在矩陣的標準加法和乘法下，其中 $n\geq 2$ 是一個整數。讀者可以輕鬆地檢查 $n=2$ 的情況，並得出結論，它對所有其他 $n$ 都成立（為什麼？）。

定理 8： 環具有唯一的乘法單位元。

證明：在我們之前關於么半群的簡短討論中，我們證明了在任何么半群中，單位元都是唯一的。由於沒有加法的環是一個么半群，因此這也適用於此。 ∎

示例 9： 單元素集 $\{*\}$ ，其加法和乘法定義為 $*+*=*$ 和 $*\cdot *=*$ 是一個環，稱為平凡環或零環。請注意，在平凡環中， $0=1$ 。歡迎讀者證明，如果且僅當環是平凡環時，環中的 $0=1$ 。

如果讀者嘗試構建一些環 $=\mathbb {Z} _{n}$ ，他/她可能已經意識到某些非零元素的乘積為零。我們對這個概念進行形式化，如下所示。

定義 10： 令 $R$ 為環， $a\in R\setminus \{0\}$ 。若存在 $b\in R$ 使得 $ab=0$ $(ba=0)$ ，則稱 $a$ 為左（或右）零因子。

引理 11： 令 $R$ 為環， $a\in R$ 。定義函式 $\rho _{a}\,:\,R\rightarrow R$ ，其中對於所有 $r\in R$ ，有 $\rho _{a}(r)=ar$ 。則 $\rho _{a}$ 是單射當且僅當 $a$ 不是左零因子。

證明：假設 $a$ 不是左零因子，並且假設我們有 $ab=\rho _{a}(b)=\rho _{a}(c)=ac$ 對於某些 $b,c\in R$ 。這意味著 $ab-ac=a(b-c)=0$ ，得到 $b=c$ 由於 $a$ 不是左零因子，所以 $\rho _{a}$ 是單射的。反之，假設 $a$ 是左零因子。則存在一個 $b\in R$ 使得 $b\neq 0$ 並且 $\rho _{a}(b)=ab=0=a0=\rho _{a}(0)$ ，所以 $\rho _{a}$ 不是單射的。 ∎

備註 12： 因此，乘以 $a$ 是左消去性的當且僅當 $a$ 不是零因子。請讀者陳述並證明右零因子的等價引理。

示例 13： $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 都是沒有零因子的交換環的例子。這些環促使了下一個定義。

定義 14： 令 $R$ 是一個沒有零因子的交換環。則 $R$ 被稱為整環。

就像定義 14 一樣，大多數特殊型別的環都將受到 $\mathbb {Z}$ 屬性的啟發。

示例 15

在點態加法和乘法下，定義在 $\mathbb {R}$ 上的函式集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 是一個環。
更一般地，如果 $R$ 是一個環，則從 $R$ 到自身的函式集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(R,R)$ 也是一個環。
用函式複合作為乘法運算，函式集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(R,R)$ 不是一個環，因為表示式 $f\circ (g+h)=f\circ g+f\circ h$ 一般情況下不成立。
在點態加法和由卷積給出的乘法下，實數上的可積函式集合 $L^{1}$ 是一個含么半環。該半環對線性系統和微分方程的研究至關重要。如果讀者有足夠的微積分基礎，他/她可以驗證該半環沒有單位元，並且是可交換的。 $(f*g)(t)=\int _{\mathbb {R} }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$ .
在標準加法和乘法下，高斯整數集合 $\mathbb {Z} \left[i\right]=\left\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \right\}$ 是一個環。

定義 16: 令 $R$ 是一個環。元素 $a\in R$ 是一個單位元，並且是可逆的，如果存在一個元素 $b\in R$ 使得 $ab=ba=1$ 。所有單位元的集合記為 $R^{*}$ 。

練習 17: 證明 $R^{*}$ 在乘法下是一個群。

練習 18:: 證明零因子不是單位元。

定理 19: (整環的消去律): 令 $R$ 為一個整環，並且令 $a,b,c\in R$ 為非零元素。那麼 $ab=ac$ 當且僅當 $b=c$ .

證明: 顯然 $ab=ac$ 如果 $b=c$ 。為了看到另一個方向，我們將等式重新排列為 $ab-ac=0$ 。但然後 $a(b-c)=0$ 。由於 $a$ 為非零元素，並且 $R$ 不包含零因子，因此必須是 $b-c=0$ ，也就是說 $b=c$ .

定義 20: 環 $R$ 如果所有非零元素都是單位元，則稱為除環或斜域，即如果它在乘法下形成了一個群，且其非零元素作為該群的元素。

定義 21: 域是一個可交換的除環。或者，域 $F$ 是一個環，其中 $(F-{0},\cdot )$ 在乘法下是一個阿貝爾群。作為另一個選擇，域是一個所有非零元素都可逆的整環。

如前所述，整環易於處理，因為它們非常接近域。事實上，下一個定理展示了這兩者之間的接近程度。

定理 22: 令 $R$ 為一個有限整環。那麼 $R$ 是一個域。

證明：令 $a\in R$ 不為零，並令 $S=\left\{ab|b\in R\right\}$ 。顯然 $S$ 是 $R$ 的子集。根據消去律，我們可以看到 $|S|=|R|$ （因為如果兩個元素 $ab$ 和 $ac$ 相等，則 $b=c$ ）。但隨後 $S=R$ 。因此，一定存在某個 $b$ 使得 $ab=1$ 。所以 $a$ 是一個單位。