抽象代數/環、理想、環同態

基本定義

定義 10.1:

一個環是一個集合 $R$ ，以及兩個二元運算 $+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$ ，以及兩個特殊的元素，單位元 $1$ 和零元 $0$ ，使得

$R$ 關於 $+$ 是一個阿貝爾群，其單位元為 $0$ 。
$R$ 關於 $\cdot$ 是一個么半群（即沒有逆元的群），其單位元為 $1$ 。
分配律成立： $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ ， $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ 。

例子 10.2:

整數 $\mathbb {Z}$ 關於通常的加法和乘法運算是一個環。
每一個域都是一個環。
如果 $R$ 是一個環，則所有關於 $R$ 的多項式形成一個環。這個例子將在關於多項式環的部分中解釋。

定義 10.3:

令 $R$ 是一個環。 $R$ 的一個左理想是一個子集 $I\subseteq R$ ，使得以下兩點成立

$(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一個子群。
$\forall r\in R:rI\subseteq I$ ，其中 $rI=\{ri|i\in I\}$ （左乘封閉性）。

用右乘封閉性替換左乘封閉性，我們可以定義右理想，然後是雙邊理想。如果 $I\subseteq R$ 是 $R$ 的雙邊理想，我們記為 $I\leq R$ 。

現在我們來證明給定環的所有理想集的一個重要性質，即它是歸納的。這意味著

定義 10.4:

令 $(S,\leq )$ 為偏序集（即滿足通常的傳遞性、自反性和反對稱性）。 $S$ 稱為歸納的當且僅當 $S$ 中的每個元素的上升鏈（即 $S$ 中的序列 $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ，使得 $s_{1}\leq s_{2}\leq s_{3}\leq \cdots \leq s_{k}\leq \cdots$ ）都有一個上界（即一個元素 $b\in S$ ，使得 $\forall n\in \mathbb {N} :b\geq s_{n}$ ）。

根據這個定義，我們觀察到

定理 10.5:

如果給定一個交換環 $R$ ，則所有理想 $I$ 的集合 $R$ ，透過包含關係（即 $S=\{I\subset R|I\leq R\}\subset 2^{R}$ ，我們使用唐納德·克努斯的約定，用 $2^{T}$ 表示集合 $T$ 的冪集）是歸納的。

證明:

如果

I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots

是一個上升的理想鏈，我們設定

J:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}

並聲稱 $J\leq R$ 。事實上，如果 $a,b\in J$ ，找到 $m,n\in \mathbb {N}$ 使得 $a\in I_{n}$ 和 $b\in I_{m}$ 。然後設定 $N:=\max\{m,n\}$ ，因此 $a,b,a+b\in I_{N}\subseteq J$ ，因為 $I_{N}\leq R$ 。類似地，如果 $a\in J$ 和 $r\in R$ ，選擇 $n\in \mathbb {N}$ 使得 $a\in I_{n}$ ，則 $ra\in I_{n}\subseteq J$ ，因為 $I_{n}\leq R$ 。 $\Box$

剩餘類環

定義和定理 10.4:

令 $R$ 為一個環，並且 $I\leq R$ 。那麼我們定義一個關係 $\sim _{I}$ 在 $R$ 上，如下所示

a\sim _{I}b:\Leftrightarrow a-b\in I

.

該關係是一個等價關係，等價類 $[a]$ 將用 $a+I$ 表示，其中 $a\in R$ 。如果我們定義加法

(a+I)+(b+I):=(a+b)+I

和乘法

(a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I

,

則這兩個運算都是良定義的（即，與代表元 $a$ 和 $b$ 的選取無關)，並將 $R/I$ 變成一個環，稱為關於理想 $I$ 的**剩餘類環**。

證明:

首先，我們檢查 $\sim _{I}$ 是否是一個等價關係。

自反性： $a-a=0\in I$ ，因為 $I$ 是一個加法子群。
對稱性： $a-b\in I\Leftrightarrow -(a-b)\in I$ ，因為逆元在子群中。
傳遞性：令 $a-b\in I$ 且 $b-c\in I$ 。則 $a-c=a-b+(b-c)\in I$ ，因為子群在群運算下是封閉的。

然後我們檢查加法和乘法是否良定義。令 $a+I=a'+I$ 且 $b+I=b'+I$ 。則

a+b-(a'+b')=a+b-(a+i+b+j)=-i-j\in I

，對於某些

i,j\in I

。

此外，

a\cdot b-a'\cdot b'=a\cdot b-a\cdot b-a\cdot j-i\cdot b-i\cdot b

對於相同的 $i,j\in I$ ; 這是在 $I$ 中，透過左右乘法的封閉性。

環公理直接從舊環 $R$ 中繼承。 $\Box$

環同態

定義 10.5:

令 $R,S$ 是環。這兩個環之間的環同態是一個對映

\varphi :R\to S

使得

對於所有 $a,b\in R$ $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ 且 $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ .
$\varphi (1_{R})=1_{S}$ ( $1_{R}$ 是 $R$ 的單位，而 $1_{S}$ 是 $S$ 的單位）。