抽象代數/集合

集合

在所謂的樸素集合論中，它足以用於研究抽象代數，集合的概念沒有嚴格定義。我們將集合描述為物件的明確集合，這些物件被稱為集合的成員或元素。如果某個物件是集合的元素，則稱它包含在該集合中。集合的元素可以是任何東西，但在抽象代數的研究中，元素最常見的是數字或數學結構。集合的元素完全決定了集合，因此具有相同元素的集合是相等的。反之，相等的集合包含相同的元素。

對於元素 $x$ 和集合 $A$，我們可以說 $x\in A$，即 $x$ 包含在 $A$ 中，或者 $x\not \in A$，即 $x$ 不包含在 $A$ 中。要說明多個元素 $a,b,c,\ldots ,n$ 包含在 $A$ 中，我們寫 $a,b,c,\ldots ,n\in A$。

外延公理

使用此符號和符號 $\rightarrow$，它表示邏輯蘊涵，我們可以重新說明兩個集合 $A$ 和 $B$ 等式的定義如下

$A=B$ 當且僅當 $x\in A\rightarrow x\in B$ 和 $x\in B\rightarrow x\in A$。

這被稱為外延公理。

綜合符號

如果無法列出集合的元素，可以透過給出一個屬性來定義集合，該屬性是集合中所有元素獨有的。所有具有屬性 $Q(x)$ 的物件 $x$ 的集合可以用 $\{x:Q(x)\}$ 表示。類似地，集合 $A$ 中所有具有屬性 $Q(x)$ 的元素 $x$ 的集合可以用 $\{x\in A:Q(x)\}$ 表示。這裡冒號 : 表示“使得”。豎線 | 在類似情況下與冒號同義。這種符號將在本書的其餘部分出現很多次，因此讀者現在熟悉它很重要。

例如，整數集可以寫成 $\mathbb {Z} =\{x:x{\text{ 是一個整數}}\}$，偶數集可以寫成 $\{x\in \mathbb {Z} :x{\text{ 是偶數}}\}$.

集合包含

對於兩個集合 $A$ 和 $B$，我們將集合包含定義如下：$A$ 包含於或是一個 $B$ 的子集，當且僅當 $A$ 中的每個成員都是 $B$ 的成員。換句話說，

$A\subseteq B\Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B$

其中符號 $\subseteq$ 表示“是…的子集”，符號 $\Leftrightarrow$ 表示“當且僅當”。

根據上述外延公理，我們發現 $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B{\mbox{ and }}B\subseteq A$.

空集

我們可以定義一個空集，記作 $\varnothing$，使得 $\forall x(x\not \in \varnothing )$，其中 $\forall$ 表示全稱量詞（讀作“對於所有”或“對於每一個”）。換句話說，空集被定義為不包含任何元素的集合。可以證明空集是唯一的。

由於空集不包含任何元素，因此可以證明它是任何集合的子集。同樣地，除了空集之外，沒有其他集合是空集的子集。

真子集

對於兩個集合 $A$ 和 $B$，我們可以定義真子集如下： $A$ 是 $B$ 的真子集，當且僅當 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A$ 不等於 $B$。換句話說，$B$ 中至少有一個成員不包含在 $A$ 中。

$A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B\land A\neq B)$,

其中符號 $\subset$ 表示“是…的真子集”，符號 $\land$ 表示邏輯運算子“且”。

集合的基數

集合 $A$ 的基數，記為 $|A|$，可以非正式地理解為集合 $A$ 中元素的數量。然而，這種描述僅對有限集嚴格準確。為了找到無限集的基數，需要更復雜的工具。

集合交集

對於集合 $A$ 和 $B$，我們定義 $A$ 和 $B$ 的交集為集合 $A\cap B$，它包含所有同時屬於 $A$ 和 $B$ 的元素。符號上，這可以表述如下

$A\cap B=\{x\mid x\in A{\mbox{ and }}x\in B\}$.

由於 $A\cap B$ 的每個元素都是 $A$ 的元素，也是 $B$ 的元素，根據集合包含的定義，$A\cap B$ 是 $A$ 和 $B$ 的子集。

如果集合 $A$ 和 $B$ 沒有共同的元素，它們被稱為不相交集。這等同於語句 $A$ 和 $B$ 不相交，如果 $A\cap B=\emptyset$。

集合交集是結合律和交換律運算；也就是說，對於任何集合$A$，$B$ 和 $C$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ 且 $A\cap B=B\cap A$.

根據交集的定義，我們可以發現 $A\cap \emptyset =\emptyset$ 且 $A\cap A=A$。此外，$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$.

我們可以同時對兩個以上的集合取交集；由於集合交集是結合律和交換律運算，因此這些交集的求值順序無關緊要。如果$A_{i}$ 對於每個$i\in I$ 都是集合，我們可以用以下符號表示所有$A_{i}$ 的交集:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in I)x\in A_{i}\}$

在這種情況下，$I$ 被稱為索引集，而 $A_{i}$ 被稱為由 $I$ 索引。

對於$I=\{1,2,...,n\}$ 的情況，我們可以寫 $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots \cap A_{n}$ 或者

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$.

集合並集

對於集合 $A$ 和 $B$，我們定義 $A$ 和 $B$ 的並集為集合 $A\cup B$，它包含所有在 $A$ 或 $B$ 或兩者中任何一個集合中的元素。用符號表示為：

$A\cup B=\{x\mid x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}$.

由於集合 $A$ 和 $B$ 的並集 $A\cup B$ 包含 $A$ 和 $B$ 的所有元素，所以 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$。

與集合交集類似，集合並集也是一種結合律和交換律運算；對於任意集合 $A$，$B$，和 $C$，$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ 且 $A\cup B=B\cup A$。

根據並集的定義，可以發現 $A\cup \emptyset =A\cup A=A$。此外，$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$。

正如集合交集一樣，可以一次對多個集合求並集；由於集合並集是結合律和交換律的，這些並集的計算順序無關緊要。令 $A_{i}$ 是所有 $i\in I$ 的集合。則所有 $A_{i}$ 的並集記為

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in I)x\in A_{i}\}$

(其中 $\exists$ 可以讀作“存在”。)

對於有限個集合 $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ 的並集，即 $I=\{1,2,...,n\}$，可以寫成 $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots \cup A_{n}$，也可以簡寫為

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$.

分配律

集合並集和集合交集是關於彼此分配的。也就是說，

$A\cap (B\cup C)=(B\cup C)\cap A=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 以及

$A\cup (B\cap C)=(B\cap C)\cup A=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

笛卡爾積

集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡爾積，記為 $A\times B$，是所有有序對的集合，這些有序對可以由 $A$ 中的元素作為第一個元素，$B$ 中的元素作為第二個元素形成。這可以用符號表示為

$A\times B=\{(x,y)\mid x\in A{\mbox{ and }}y\in B\}$.

由於交換對中的物件會得到不同的有序對，所以笛卡爾積不滿足交換律。 笛卡爾積也不滿足結合律。 對於任何集合 $A,B,C,D$，笛卡爾積滿足以下恆等式：

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$,

$(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (A\times D)\cup (B\times C)\cup (B\times D)$,

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

任何集合與空集的笛卡爾積都為空集；用符號表示，對於任何集合 $A$，$A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset$.

笛卡爾積可以很容易地推廣到n元笛卡爾積，它也用 $\times$ 表示。 n元笛卡爾積從 $n$ 個集合的元素中形成有序的n元組。 特別地，對於集合 $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$，

$A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \cdots \times A_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in A_{i}\}$.

這可以簡寫為

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}$.

在n元笛卡爾積中，每個 $x_{i}$ 被稱為 $i$ 的 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 的第 $i$ 個座標。

在所有因子都是同一個集合$A$的特殊情況下，我們可以進一步推廣。設$A^{\Omega }$ 是所有函式$f\,:\,\Omega \rightarrow A$ 的集合。那麼，類似於上面的，$A^{\Omega }$ 實際上是$\Omega$ 元組”的集合，這些元組中的元素屬於$A$，對於每個這樣的函式$f$ 和每個$i\in \Omega$，我們稱$f(i)$ 是$i$ 座標的$f$。正如預期的那樣，在簡單的$\Omega =\{1,2,...,n\}$ 情況下，對於整數$n$，此構造等價於$\prod _{i=1}^{n}A$，我們可以將其進一步縮寫為$A^{n}$。我們還有一個重要的$\Omega =\mathbb {N}$，它產生了所有$A$ 的無限序列的集合，我們可以將其表示為$A^{\infty }$。我們稍後會用到這個構造，特別是在處理多項式環時。

不相交併集

設 $A$ 和 $B$ 是任意兩個集合。我們定義它們的**不相交併集**，記為 $A\coprod B$，如下：首先建立 $A$ 和 $B$ 的副本，記為 $A^{\prime }$ 和 $B^{\prime }$，使得 $A^{\prime }\cap B^{\prime }=\emptyset$。然後定義 $A\coprod B=A^{\prime }\cup B^{\prime }$。注意，這個定義不是顯式的，不像迄今為止定義的其他運算。這個定義並沒有輸出一個單一的集合，而是輸出一個集合族。然而，它們在某種意義上都是“相同的”，這將在後面定義。換句話說，它們之間存在雙射函式。

幸運的是，如果需要進行顯式計算，則可以很容易地構造出一個不相交併集，例如 $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)$。

集合差

集合 $A$ 和 $B$ 的**集合差**或**相對集合補**，記為 $A\setminus B$，是包含在 $A$ 中但不包含在 $B$ 中的元素的集合。符號表示為：

$A\setminus B=\{x\mid x\in A{\mbox{ and }}x\not \in B\}$.

根據集合差的定義，$A\setminus B\subseteq A$。

對於任意集合 $A,B,C$，以下等式成立：

$A\setminus B=A\Leftrightarrow A\cap B=\emptyset$,

$A\setminus B=\emptyset \Leftrightarrow A\subseteq B$,

$A\setminus B=A\setminus C\Leftrightarrow A\cap B=A\cap C$,

$A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$,

$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$,

$A\setminus (B\setminus C)=(C\cap A)\cup (A\setminus B)$,

$A\setminus \emptyset =A$,

$A\setminus A=\emptyset$,

$\emptyset \setminus A=\emptyset$.

兩個笛卡爾積的集合差可以表示為 $(A\times B)\setminus (C\times D)=[A\times (B\setminus D)]\cup [(A\setminus C)\times B]$.

全集和集合補集

我們定義一個任意集合 $U$，所有我們考慮的集合都是 $U$ 的子集，作為全集。任何集合的補集定義為全集和該集合的集合差。即，對於任何集合 $A\subseteq U$，$A$ 的補集由 $A^{C}=U\setminus A$給出。以下恆等式涉及集合補集，對於任何集合 $A$ 和 $B$ 都成立

德摩根定律

$(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$,

$(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$,

雙補集定律

$A^{CC}=A$,

補集性質

$A\cup A^{C}=U$,

$A\cap A^{C}=\emptyset$,

$\emptyset ^{C}=U$,

$U^{C}=\emptyset$,

$A\subseteq B\rightarrow B^{C}\subseteq A^{C}$.

集合的補集可以與集合的差集透過以下等式聯絡起來 $A\setminus B=A\cap B^{C}$ 和 $(A\setminus B)^{C}=A^{C}\cup B$.

對稱差

對於集合 $A$ 和 $B$，$A$ 和 $B$ 的對稱差集，記為 $A\bigtriangleup B$ 或 $A\ominus B$，是包含在 $A$ 或 $B$ 但不包含在兩者中的元素的集合。符號表示為：

$A\bigtriangleup B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

更常見的表示方法是：

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ 或

$A\bigtriangleup B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

對稱差是可交換的和可結合的，因此 $A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A$ 和 $(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C)$。任何集合都是它自身的對稱差逆元，空集是其對稱差運算的單位元，即，$A\bigtriangleup A=\emptyset$ 且 $A\bigtriangleup \emptyset =A$。此外，$A\bigtriangleup B=\emptyset$ 當且僅當 $A=B$。

集合交集對稱差運算具有分配律。換句話說，$A\cap (B\bigtriangleup C)=(A\cap B)\bigtriangleup (A\cap C)$。

兩個集合補集的對稱差與兩個集合的對稱差相同：$A^{C}\bigtriangleup B^{C}=A\bigtriangleup B$。

特定集合的符號

數學中常用的數字集合通常用特殊符號表示。本書中使用的傳統符號如下所示。

包含 0 的自然數: $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}$ 或 $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$
不包含 0 的自然數: $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\ldots \}$
整數: $\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots \}$
有理數: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} {\mbox{ and }}q\in \mathbb {N} ^{*}\right\}$
實數: $\mathbb {R}$
複數: $\mathbb {C}$