抽象代數/集合與複合

一個集合是值的集合，通常用大寫字母表示。例如，假設 A 是所有以字母 'A' 開頭的名字的集合。從這個定義中，我們可以看出 "Andrew" 是集合 A 的成員，但 "Michael" 不是。

集合

常見集合

以下是一些常見的集合

$\mathbb {N}$: 自然數 $\mathbb {Z}$: 整數 $\mathbb {Q}$: 有理數 $\mathbb {R}$: 實數 $\mathbb {C}$: 複數

自然數是所有非負非零整數的集合 $\{1,2,3,4,\ldots \}.$ 整數包括所有自然數，它們的負數和零 $\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$。有理數是所有可以表示為兩個整數之比的數，其中分母不為零。實數包括有理數，也包括所有不能表示為兩個整數之比的數。複數是所有包含虛數 i 的數。注意，C 可以包含虛數（沒有實部）、實數（沒有虛部）和複數（實部和虛部）。

集合符號

通常，我們需要用特定的數學關係來定義集合。例如，我們可以說我們要定義所有偶數的集合。因為 $\mathbb {Z}$ 是整數的集合符號，我們可以說

$\{x\in \mathbb {Z} :x{\mbox{ mod }}2=0\}$

用英文來說，這句話的意思是 "所有屬於集合 $\mathbb {Z}$ 的 x，使得 x 模 2 等於零"。或者，如果我們不熟悉模運算，用簡單的英文來定義我們的集合也是可以接受的

$\{x\in \mathbb {Z} :x{\mbox{ is even}}\}$

這裡冒號 (:) 讀作 "使得"。這種符號將在本書的其餘部分中大量出現，因此讀者務必熟悉它。

$a\in A$ 表示 $a$ 是 A 的一個元素。

集合運算

集合 A 的一個子集 S 是一個滿足 $s\in S\to s\in A$ 的集合。這表示為 $S\subset A$。

兩個集合 A 和 B 的交集是集合 $A\cap B=\{s:s\in A\land s\in B\}$。

兩個集合 A 和 B 的並集是集合 $A\cup B=\{s:s\in A\lor s\in B\}$。

如果 $S\subset A$，那麼集合 $A-S=\{s:s\in A\land s\notin S\}$。

笛卡爾積

兩個集合之間的笛卡爾積表示了兩個或多個變數的域。例如，如果我們有變數 x 和 y，以及集合 A 和 B，我們可以使用笛卡爾積來表示 x 和 y 的域，分別用 A 和 B 表示。

$A\times B=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$

運算

運算是在集合上對集合中的數字進行的操作，並返回一個屬於該集合的值，即如果 $A$ 是一個集合，那麼運算是一個函式 $*:A\times A\to A$

例如，兩個整數的加法會產生一個整數的結果。因此，加法是整數中的一個運算。而整數的除法就是一個操作的例子，它不是一個運算，因為 $1/2$ 不是一個整數。

如果我們有一個集合 $A$，我們說一個運算作用於 $A\times A$ 併產生一個結果在 $A$ 中。這也被稱為 **封閉性**。

結合性

如果一個運算 Δ 滿足：

$(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$

那麼稱該運算 Δ 為結合運算，例如，加法運算在整數集合 Z 上是結合運算。

$(1+2)+3=6=1+(2+3)$

然而，需要注意的是，減法不是結合運算。

$(1-2)-3=-4,\qquad 1-(2-3)=2$

交換律

如果一個運算 Δ 滿足

$A\Delta B=B\Delta A$

則稱 Δ 為交換運算。

例如，乘法是交換運算，因為

$2\times 3=6=3\times 2$$2\times 3=6=3\times 2$

注意，除法不是交換運算

$2\div 3={\frac {2}{3}},\qquad 3\div 2={\frac {3}{2}}$$2\div 3={\frac {2}{3}},\qquad 3\div 2={\frac {3}{2}}$

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單位元（或恆等元）是指集合 E 中的一個元素，使得對 E 中的任何元素進行運算 × E，結果都返回另一個運算元。例如，假設我們有一個運算 Δ，一個單位元 $e\in E$ 和一個非單位元 $x\in E$。如果 Δ 是交換運算，則有以下關係

$e\Delta x=x\Delta e=x$$e\Delta x=x\Delta e=x$

例如，在加法中，單位元是 0，因為 1 + 0 = 1。同樣，在乘法中，1 是單位元，因為 1 × 2 = 2。

每個運算最多隻有一個單位元。為了證明這個事實，假設一個運算 Δ 存在兩個單位元 e 和 f

$e\Delta f=e$

$f\Delta e=f$$f\Delta e=f$

但由於根據定義，e 和 f 在 Δ 下是交換的，因此我們知道 e = f。

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大多數讀者應該熟悉笛卡爾座標系中的有序座標對，它是一個由兩個值組成的有序對 (x,y)。
有序對是一種人工構造，我們將兩個值按照特定的順序排列。更正式地，我們可以將有序對定義為以下集合

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

假設我們有兩個有序對 A 和 B，分別包含值 $a_{1},a_{2},b_{1}$ 和 $b_{2}$

$B=(b_{1},b_{2})$

我們可以看到 $A=B$ 當且僅當

$a_{1}=b_{1}{\mbox{ and }}a_{2}=b_{2}$

函式

函式本質上是一個對映，它連線兩個值 x 和 y。我們使用以下符號來表示我們的函式 f 是 x 和 y 之間的關係

$(x,y)\in f$

注意 x 和 y 構成一個有序對：如果我們顛倒 x 和 y 的順序，關係將不同（或不存在）。我們說 x 的可能值的集合是函式的域 D，而 y 的可能值的集合是值域 R。

換句話說，使用我們已經討論過的一些術語，我們說我們的函式 f 從“D × R 對映到 R”。

逆函式

如果 f 是 D × R 中的函式，到 R，那麼 f⁻¹ 是 f 的逆函式，如果它在 R × D 到 D 中，並且以下關係成立

$(x,y)\in f,\qquad (y,x)\in f^{-1}$

練習

• 在四則運算中，加法、減法、乘法和除法，哪些是可結合的？哪些是可交換的？
• 使用有序對的定義作為模型，給出有序n 元組的正式定義：$(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})$

答案

運算	可結合的	可交換的
加法	是	是
乘法	是	是
減法	否	否
除法	否	否