抽象代數/分裂域和代數閉包

分裂域

令F為一個域，p(x)為F(x)中的一個非零多項式。我們已經知道，可以找到F的一個域擴張，它包含p(x)的一個根。然而，我們想知道是否存在F的擴張E，它包含p(x)的所有根。換句話說，我們能否找到F的域擴張，使得p(x)在其中分解成線性多項式的乘積？包含p(x)所有根的“最小”擴張是什麼？

令F為一個域， $p(x)=\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\cdots +\alpha _{n}x^{n}$ 為F[x]中的一個非零多項式。F的擴張域E稱為p(x)的分裂域，如果存在E中的元素 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ ，使得 $E=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$ 並且

$p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$ 在E[x]中成立。

多項式 $p(x)\in F[x]$ 在E中分解，如果它是E[x]中線性因子的乘積。

例1： 令 $p(x)=x^{4}+2x^{2}-8$ 為 $\mathbb {Q} [x]$ 中的元素。那麼p(x)具有不可約因子 $x^{2}-2$ 和 $x^{2}+4$ 。因此，域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},i)$ 是p(x)的分裂域。

例2： 令 $p(x)=x^{3}-3$ 為 $\mathbb {Q} [x]$ 中的元素。那麼p(x)在域 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{3}})$ 中有一個根。然而，這個域不是p(x)的分裂域，因為3的復三次根， ${\frac {-{\sqrt[{3}]{3}}\pm ({\sqrt[{6}]{3}})^{5}i}{2}}$ 不在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{3}})$ 中。

定理 設 $\in$ $p(x) \in F(x)$ 是一個非常數多項式。那麼，存在 $p(x)$ 的裂解域 $E$ 。

證明：我們將對 $p(x)$ 的次數使用數學歸納法。如果 $deg(p(x))=1$ ，那麼 $p(x)$ 是一個線性多項式，且 $E=F$ 。假設對於所有次數為 $k$ 且 ${\displaystyle 1\leq k$ 的多項式定理成立，並設 $deg(p(x))=n$ 。我們可以假設 $p(x)$ 是不可約的；否則，根據我們的歸納假設，我們就完成了。存在一個域 $K$ 使得 $p(x)$ 在 $K$ 中有一個零點 $\alpha _{1}$ 。因此， $p(x)=(x-\alpha _{1})q(x)$ ，其中 $q(x)\in K(x)$ 。由於 $deg(q(x))=n-1$ ，根據我們的歸納假設，存在 $q(x)$ 的裂解域 $E\supset K$ ，它包含 $p(x)$ 的零點 $\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}$ 。因此，

$E=K(\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$

是 $p(x)$ 的裂解域。

現在出現了裂解域唯一性的問題。這個問題的答案是肯定的。給定一個多項式 $\phi :E\to F$

引理證明 如果 p(x) 的度數為 n，那麼我們可以將 $E(\alpha )$ 中的任何元素寫成 $1,\alpha ,\cdots ,\alpha ^{n-1}$ 的線性組合。因此，我們正在尋找的同構必須是

$\phi (a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})=\psi (a_{0})+\psi (a_{1})\beta +\cdots +\psi (a_{n-1})\beta ^{n-1}$ ,

其中

$a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}$

是 $E(\alpha )$ 中的元素。我們可以透過直接計算來驗證 $\phi$ 是同構；然而，觀察到 $\phi$ 是我們已知為同構的對映的複合，會更容易。

我們可以將 $\psi$ 擴充套件為從 E[x] 到 F[x] 的同構，我們也將用 $\psi$ 表示，讓

$\psi (a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})=\psi (a_{1})x+\cdots +\psi (a_{n})x^{n}$ .

此擴充套件與原始同構 $\psi :E\to F$ 一致，因為常數多項式對映到常數多項式。根據假設， $\psi (p(x))=q(x)$ ；因此， $\psi$ 將 $\left\langle p(x)\right\rangle$ 對映到 $\left\langle q(x)\right\rangle$ 。因此，我們有同構 ${\overline {\psi }}:E[x]/\left\langle p(x)\right\rangle \to F[x]/\left\langle q(x)\right\rangle$ 。我們有同構 $\sigma :E[x]/\left\langle p(x)\right\rangle \to F(\alpha )$ 和 $\tau :F[x]/\left\langle q(x)\right\rangle \to F(\beta )$ ，分別由在 $\alpha$ 和 $\beta$ 處進行求值定義。因此， $\psi =\tau ^{-1}{\overline {\phi }}\sigma$ 是所需的同構。

現在寫 $p(x)=(x-\alpha )f(x)$ 和 $q(x)=(x-\beta )g(x)$ ，其中 f(x) 和 g(x) 的次數分別小於 p(x) 和 q(x) 的次數。域擴張 K 是 f(x) 關於 E(α) 的分裂域，L 是 g(x) 關於 F(β) 的分裂域。根據我們的歸納假設，存在一個同構 $\psi :K\to L$ 使得 $\psi$ 在 E(α) 上與 ${\bar {\phi }}$ 一致。因此，存在一個同構 $\psi :K\to L$ 使得 $\psi$ 在 E 上與 $\psi$ 一致。

推論 設 p(x) 是 F[x] 中的多項式。那麼存在 p(x) 的分裂域 K，該域在同構意義下是唯一的。

代數閉包

給定一個域 F，自然會問我們是否可以找到一個域 E 使得每個多項式 p(x) 在 E 中都有根。這引出了以下定理。

定理 21.11 設 E 是 F 的一個域擴張。E 中關於 F 是代數的元素集合構成一個域。

證明。設 $\alpha ,\beta \in E$ 是關於 F 的代數元素。那麼 $F(\alpha ,\beta )$ 是 F 的一個有限擴張。由於 $F(\alpha ,\beta )$ 的每個元素都是關於 $F,\alpha \pm \beta ,\alpha \beta$ 的代數元素，而 $\alpha /\beta {\text{ }}(\beta \neq 0)$ 都是關於 F 的代數元素。因此，E 中關於 F 的代數元素集合構成一個域。

推論 21.12 所有代數數的集合構成一個域；即，所有關於 $\mathbb {Q}$ 是代數的複數的集合構成一個域。

設 E 是域 F 的一個域擴張。我們定義 F 在 E 中的 代數閉包 為包含 E 中所有關於 F 是代數的元素的域。如果 F 上的每個非零常數多項式在 F 中都有根，則稱域 F 是 代數閉 的。

定理 21.13 域 F 是代數閉的，當且僅當 F[x] 中的每個非零常數多項式在 F[x] 上分解成線性因子。

證明。設*F*為代數閉域。如果 $p(x)\in F[x]$ 是一個非零多項式，那麼*p(x)*在*F*中有一個零點，比如α。因此， $x-\alpha$ 必須是*p(x)*的一個因子，因此 $p(x)=(x-\alpha )q_{1}(x)$ ，其中 $deg(q_{1}(x))=deg(p(x))-1$ 。用 $q_{1}(x)$ 繼續這個過程，找到一個因式分解