聲學/聲學基礎

簡介

聲音是透過氣體、液體或固體以行進的波形式傳播的壓力振盪，可以由介質中任何區域性的壓力變化產生。理解聲音傳播的一個簡單方法是將空間劃分為薄層。這些薄層的振動（連續壓縮和鬆弛），以一定的速率進行，使聲音能夠傳播，從而產生波。聲音的速度取決於介質的壓縮性和密度。

在本章中，我們只考慮聲音波在沒有聲源的區域中傳播，在均勻流體中。

波動方程

聲波由一個標量，即聲學超壓的傳播組成。聲波在靜止介質（例如靜止的空氣或水）中的傳播由以下方程控制（參見波動方程）

$\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

該方程是透過使用守恆方程（質量、動量和能量）以及理想氣體（或理想可壓縮固體或液體）的熱力學狀態方程得到的，假設壓力變化很小，並且忽略粘性和熱傳導，這些因素會產生其他項，解釋聲音衰減。

在聲波的傳播方程中，$c_{0}$是聲波的傳播速度（與空氣層的振動速度無關）。這種傳播速度有以下表達式

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{s}}}}$

其中$\rho _{0}$是密度，$\chi _{S}$是傳播介質的壓縮係數。

亥姆霍茲方程

由於聲波的速度場${\underline {v}}$對於聲波是無旋的，我們可以定義一個聲勢$\Phi$，透過

${\underline {v}}={\text{grad }}\Phi$

使用上一段的傳播方程，很容易得到新的方程

$\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0$

應用傅立葉變換，我們得到廣泛使用的亥姆霍茲方程

$\nabla ^{2}{\hat {\Phi }}+k^{2}{\hat {\Phi }}=0$

其中 $k$ 是與 $\Phi$ 相關的波數。使用此方程式通常是解決聲學問題的最簡單方法。

聲強和分貝

聲強表示與波傳播相關的聲能通量

${\underline {i}}(t)=p{\underline {v}}$

然後我們可以定義平均強度

${\underline {I}}=\langle {\underline {i}}\rangle$

然而，聲強不能很好地反映聲音的強度，因為我們耳朵的靈敏度是對數的。因此，我們定義分貝，無論是使用聲壓還是聲平均強度

$p^{\rm {dB}}=20\log \left({\frac {p}{p_{\mathrm {ref} }}}\right)$  ; $L_{I}=10\log \left({\frac {I}{I_{\mathrm {ref} }}}\right)$

其中 $p_{\mathrm {ref} }=2*10^{-5}~{\rm {Pa}}$ 適用於空氣，或者 $p_{\mathrm {ref} }=10^{-6}~{\rm {Pa}}$ 適用於任何其他介質，以及 $I_{\mathrm {ref} }=10^{-12}~{\rm {W/m}}^{2}$.

求解波動方程

平面波

如果我們研究聲波的傳播，遠離聲源，它可以被認為是平面一維波。如果傳播方向沿x軸，則解為

$\Phi (x,t)=f\left(t-{\frac {x}{c_{0}}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{c_{0}}}\right)$

其中f和g可以是任何函式。f描述了向x增加方向的波動，而g描述了向x減小方向的波動。

動量方程提供了$p$ 和 ${\underline {v}}$ 之間的關係，從而得出以下定義的聲阻抗表示式：

${\frac {p}{v}}=Z=\pm \rho _{0}c_{0}$

對於平面波，我們還可以得到聲強度的表示式：

${\underline {i}}=\pm {\frac {p^{2}}{\rho _{0}c_{0}}}{\underline {e_{x}}}$

球面波

更一般地，波在任何方向傳播，形成球面波。在這些情況下，聲勢$\Phi$ 的解為：

$\Phi (r,t)={\frac {1}{r}}f\left(t-{\frac {r}{c_{0}}}\right)+{\frac {1}{r}}g\left(t+{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

聲勢隨聲源距離線性下降，這僅僅是能量守恆的結果。對於球面波，我們也可以很容易地計算出聲阻抗和聲強。

邊界條件

關於用於求解波動方程的邊界條件，我們可以區分兩種情況。如果介質不吸收，邊界條件可以透過力學中的常用方程來建立。但在吸收材料的情況下，使用聲阻抗的概念更為簡單。

非吸收材料

在這種情況下，我們可以得到介面上應力和速度的明確邊界條件。這些條件取決於介質是固體、無粘性流體還是粘性流體。

吸收材料

這裡，我們使用聲阻抗作為邊界條件。這種阻抗通常由實驗測量給出，取決於材料、流體和聲波的頻率。