A , B , C ... 用於表示點。除了表示空間中的點外，大寫羅馬字母也可以表示頂點及其對應的角。
對於任意兩點A 和B
[AB ) 表示從A 開始並經過B 的射線。
(AB ) 表示經過兩點的直線。
[AB ] 或 AB 表示從A 開始並以B 結束的線段。 除了印刷上的方便之外，這種符號是為了反映用來表示實數線的區間符號。
對於角，給定兩個端點A 和C ，頂點為B ，則該角用∠ABC 表示。
對於多邊形，字母a, b, c ... 表示多邊形的邊。多邊形的邊總是用小寫斜體羅馬字母表示。在三角形的情況下，邊a, b, c... 表示與頂點A, B, C ... 相對的邊。
三角形的周長為2p 。我們使用這種符號，以便我們可以簡單地將半周長表示為p 。
ha , hb 和 hc 表示三角形ABC 的對應邊a, b, c 上的高，ma , mb , 和 mc 表示中線。
ta 是∠A 的內角平分線。Ta 是∠A 的外角平分線。
R {\displaystyle R} r {\displaystyle r}
[ A , r ] {\displaystyle [A,r]} A {\displaystyle A} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r}
M = ⟨ A B , C D ⟩ {\displaystyle M=\langle AB,CD\rangle } A B {\displaystyle AB} C D {\displaystyle CD} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} M = ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle M=\langle a,b\rangle }
問題 1 的作圖動畫。 問題： 給定一條已存在的直線 a {\displaystyle a} P {\displaystyle P} a {\displaystyle a}
解決方案： 畫一條任意直線 b {\displaystyle b} P {\displaystyle P} a {\displaystyle a} Q = ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle Q=\langle a,b\rangle } Q {\displaystyle Q} R {\displaystyle R} Q {\displaystyle Q} b {\displaystyle b} [ P , Q R ] {\displaystyle [P,QR]} S = ⟨ [ P , Q R ] , b ⟩ {\displaystyle S=\langle [P,QR],b\rangle } T = ⟨ [ Q , Q R ] , a ⟩ {\displaystyle T=\langle [Q,QR],a\rangle } [ T , T R ] {\displaystyle [T,TR]} [ S , T R ] {\displaystyle [S,TR]} U = ⟨ [ P , Q R ] , [ S , T R ] ⟩ {\displaystyle U=\langle [P,QR],[S,TR]\rangle } P {\displaystyle P} U {\displaystyle U} a {\displaystyle a}
證明： 此證明依賴於以下定理：如果 ∠ S P U {\displaystyle \angle SPU} ∠ R Q T {\displaystyle \angle RQT} P U ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {PU}}} Q T ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {QT}}} ∠ S P U = ∠ R Q T {\displaystyle \angle SPU=\angle RQT} Z {\displaystyle Z} P U ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {PU}}} Q T ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {QT}}} ∠ S P U = ∠ R Q T {\displaystyle \angle SPU=\angle RQT} ∠ U P R {\displaystyle \angle UPR} ∠ R Q T {\displaystyle \angle RQT} ∠ U P R {\displaystyle \angle UPR} ∠ R Q T {\displaystyle \angle RQT} ∠ P Z Q {\displaystyle \angle PZQ} P U ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {PU}}} Q T ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {QT}}}
請注意，此證明只適用於右側。證明左側基本相同，只是符號不同，留給讀者練習。
問題 2 的構造動畫。 問題： 將給定線段分成 n 等份，其中 n 是大於 2 的整數。
解： 我們以 n = 3 為例，但使用的方 法應該使讀者可以輕鬆地將其推廣到更大的 n 值。為了方便起見，我們將給定的線段稱為 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}}
Construct a circle of arbitrary length at point A {\displaystyle A} C {\displaystyle C} A C ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}} [ C , A C ] {\displaystyle [C,AC]} D = ⟨ [ C , A C ] , A C ↔ ⟩ {\displaystyle D=\langle [C,AC],{\overleftrightarrow {AC}}\rangle } [ D , A C ] {\displaystyle [D,AC]} A C ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}} a {\displaystyle a} E = ⟨ [ D , A C ] , a ⟩ {\displaystyle E=\langle [D,AC],a\rangle } E B ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {EB}}} E B ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {EB}}} b {\displaystyle b} D {\displaystyle D} C {\displaystyle C} b {\displaystyle b} C {\displaystyle C} c {\displaystyle c} D {\displaystyle D} d {\displaystyle d} F = ⟨ A B ¯ , d ⟩ {\displaystyle F=\langle {\overline {AB}},d\rangle } G = ⟨ A B ¯ , c ⟩ {\displaystyle G=\langle {\overline {AB}},c\rangle } A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}}
如果我們要將此推廣到更大的 n 值，只需在 a {\displaystyle a}
證明： 如果我們回顧我們的構造，應該注意到我們還構造了三個三角形：三角形 ACG、三角形 ADF 和三角形 AEB。所有這些三角形共用 ∠ C A G {\displaystyle \angle CAG} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} ∠ C G A , ∠ D F A , {\displaystyle \angle CGA\,,\angle DFA\,,} ∠ E B A {\displaystyle \angle EBA}
由於我們之前構造圓形的方式， A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} A G ¯ {\displaystyle {\overline {AG}}} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} A F ¯ {\displaystyle {\overline {AF}}} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} A G ¯ {\displaystyle {\overline {AG}}} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} G F ¯ {\displaystyle {\overline {GF}}} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} A F ¯ {\displaystyle {\overline {AF}}} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} F B ¯ {\displaystyle {\overline {FB}}}
由於每一段都是總長度的三分之一，因此 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}}
對於大於 2 的所有整數 n，我們也可以看到全等關係是如何起作用的，但證明這一點既乏味又不必要。
問題： 給定一條線段，構造其垂直平分線。
解： 將你的圓規設定為大於線段一半的半徑。以線段的端點為圓心，構造兩個半徑為該半徑的圓。圓應該有兩個交點。將它們連線起來。這條線將同時是線段的垂直平分線。
證明： 這或多或少是等距定理的直接結果。
過一點的垂直線構造動畫。 問題： 給定一條直線和直線上的一點，構造一條過該點的直線，使其垂直於給定的直線。
解法： 我們將這條線稱為 d {\displaystyle d} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} d {\displaystyle d} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D}
證明： 兩個初始交點到 p {\displaystyle p} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}}
比例線構建動畫。 問題： 假設你有三條線段：線 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
解決方案： 構造一條隨機的線（我們將其稱為 d {\displaystyle d} d {\displaystyle d} A {\displaystyle A} [ A , a ] {\displaystyle [A,a]} B = ⟨ [ A , a ] , d ⟩ {\displaystyle B=\langle [A,a],d\rangle } [ B , a ] {\displaystyle [B,a]} C = ⟨ [ B , a ] , d ⟩ {\displaystyle C=\langle [B,a],d\rangle } A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} w {\displaystyle w}
現在，我們對線段 b {\displaystyle b} [ A , b ] {\displaystyle [A,b]} E = ⟨ [ A , b ] , d ⟩ {\displaystyle E=\langle [A,b],d\rangle } [ E , b ] {\displaystyle [E,b]} F = ⟨ [ E , b ] , d ⟩ {\displaystyle F=\langle [E,b],d\rangle } A F ¯ {\displaystyle {\overline {AF}}} x {\displaystyle x}
構建 [ B , c ] {\displaystyle [B,c]} G = ⟨ [ B , c ] , w ⟩ {\displaystyle G=\langle [B,c],w\rangle } G A ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {GA}}} x {\displaystyle x} H E ¯ {\displaystyle {\overline {HE}}}
證明： 三角形 ABG 和三角形 AEH 都是直角三角形。此外，它們有一個公共頂角，該角相等。因此，根據相似三角形定義， a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
幾何平均數的構建 圖 1 問題： 給定兩條線段 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
解決方案： 建立一個點 A {\displaystyle A} [ A , a ] {\displaystyle [A,a]} B {\displaystyle B} [ B , b ] {\displaystyle [B,b]} A B ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}} c {\displaystyle c} C = ⟨ a , [ B , b ] ⟩ {\displaystyle C=\langle a,[B,b]\rangle } B {\displaystyle B} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} D {\displaystyle D} [ D , A D ¯ ] {\displaystyle [D,{\overline {AD}}]} E = ⟨ [ D , A D ¯ ] , d ⟩ {\displaystyle E=\langle [D,{\overline {AD}}],d\rangle } B E ¯ {\displaystyle {\overline {BE}}}
證明： 此構造的證明依賴於兩個步驟：第一步是證明對於任何直角三角形， f 2 = a b {\displaystyle f^{2}=ab}
為了證明第一部分，我們需要注意到一些性質。根據定義，高線 f {\displaystyle f} ∠ A D B {\displaystyle \angle ADB} ∠ B D C {\displaystyle \angle BDC} ∠ C B D + ∠ D B A = 90 ∘ {\displaystyle \angle CBD+\angle DBA=90^{\circ }} ∠ D A B + ∠ D B A = 90 ∘ {\displaystyle \angle DAB+\angle DBA=90^{\circ }} ∠ D A B + ∠ D B A = ∠ C B D + ∠ D B A {\displaystyle \angle DAB+\angle DBA=\angle CBD+\angle DBA} ∠ D A B = ∠ C B D {\displaystyle \angle DAB=\angle CBD} f a = b f {\displaystyle {\frac {f}{a}}={\frac {b}{f}}} f f = a b {\displaystyle ff=ab} f 2 = a b {\displaystyle f^{2}=ab} f = a b {\displaystyle f={\sqrt {a}}{b}}
為了表明我們構造了這樣的三角形，請注意，在我們的構造中，我們使斜邊等於 a + b {\displaystyle a+b}
大量的構造試圖構造一個與給定幾何圖形具有相同面積的正方形。其中一些是不可能的，例如構造等面積的圓形和正方形，但其中許多是可能的，例如矩形和三角形。
如何將矩形平方動畫演示。 問題： 給定一個矩形，構造一個面積相等的正方形。
解決方案： 為方便起見，我們將矩形記為 ABCD，其中 B C ¯ and A D ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}{\text{and}}{\overline {AD}}} A B ¯ and C D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}{\text{and}}{\overline {CD}}}
構造 [ D , C D ] {\displaystyle [D,CD]} E = ⟨ A D , [ D , C D ] ⟩ {\displaystyle E=\langle AD,[D,CD]\rangle } A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} [ F , A E ] {\displaystyle [F,AE]} C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} [ F , A E ] {\displaystyle [F,AE]} G {\displaystyle G} C G ¯ {\displaystyle {\overline {CG}}}
要構造等效正方形，只需使用該半徑建立一個圓，然後構造兩條相互垂直的半徑。完成此操作後，構造兩條與這些半徑相切的切線。這樣就會形成一個正方形。
這基本上是相同的步驟，只是矩形的組成部分是高度的一半和底邊。
圖 2 問題： 給定一個圓和一個不在該圓上的點，構造兩條切線。
解法： 設圓心為 O {\displaystyle O} A {\displaystyle A} A O ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {AO}}} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} [ A , A C ] {\displaystyle [A,AC]} E = ⟨ [ A , A C ] , A O ↔ ⟩ {\displaystyle E=\langle [A,AC],{\overleftrightarrow {AO}}\rangle } A {\displaystyle A} a {\displaystyle a} A O ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {AO}}} F {\displaystyle F} A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} [ F , F D ] {\displaystyle [F,FD]} G = ⟨ [ F , F D ] , a ⟩ {\displaystyle G=\langle [F,FD],a\rangle }
如果你讓圓 [ A , A G ] {\displaystyle [A,AG]}
證明： 此證明依賴於割線-切線定理，它實際上是割線-割線定理的特例。該定理指出，對於任何位於圓形外部的點，例如圖 2 中的點， ( A B ) ( A C ) = ( A D ) ( A E ) {\displaystyle (AB)(AC)=(AD)(AE)} B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} A B {\displaystyle AB} A C {\displaystyle AC} A B {\displaystyle AB} A C {\displaystyle AC} ( A P ) 2 = ( A D ) ( A E ) {\displaystyle (AP)^{2}=(AD)(AE)}
如果你觀察構建過程，你應該注意到，用於構建幾何平均數的方法是相同的，只是對於 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 正好 在切線所在位置與圓形相交。
解決方案可以在此處 找到。
問題 1： 給定三條線段，構造一個三角形。
問題 2： 給定兩條線段和它們之間的角，構造一個三角形。
問題 3： 給定一條線段和兩個角，構造一個三角形。
問題 4： 給定兩個正方形，構造一個面積等於這兩個正方形面積之和的第三個正方形。
問題 5： 給定一條直線上的一個點和一個半徑，構造一個以該點為切點且半徑為給定值的圓形。
問題 6： 給定一條直角邊和斜邊之間的角，構造一個直角三角形。
問題 7： 給定兩個正方形，構造一個面積等於這兩個正方形面積之差的第三個正方形。
問題 8： 假設你要構造一個平行四邊形 ABCD。給你 AB、BC 和 AC。使用給定的線段構造一個平行四邊形。
問題 9： 證明，如果直角三角形斜邊的垂線將斜邊分成一個比例，則該比例等於兩條直角邊的平方。
問題 10： 將給定的線段分成兩條給定線段的平方之比。
問題 11： 給定兩條直角邊平方的比例，構造一個直角三角形。
問題 12： 構造兩個圓形的內切線並證明該構造有效。
問題 13： 構造兩個圓形的外部切線並證明該構造有效。
問題 14： 給定一個三角形，構造一個與給定三角形面積相同的等邊三角形。
![{\displaystyle [A,r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d30b647336223e04598b4307eeecfcd9888d51)
![{\displaystyle [P,QR]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e99edc182ff5aee868d7720d1fe4482464384)
![{\displaystyle S=\langle [P,QR],b\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38f64549e4fe6dc489be0a33f6aee5a4249bb9a)
![{\displaystyle T=\langle [Q,QR],a\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cf1c315f3526fab373555162e69dbba847029cd)
![{\displaystyle [T,TR]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e555bf54c650c475b9bec017cab9375e0e81a3c)
![{\displaystyle [S,TR]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed93ea72a3e810d54b62e8257ec1df95ae1e629b)
![{\displaystyle U=\langle [P,QR],[S,TR]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928de84f64b882d283b015df89dc96f1c9102145)
![{\displaystyle [C,AC]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d63f8bb821d78b1f506f77a17363a2b1a0967c)
![{\displaystyle D=\langle [C,AC],{\overleftrightarrow {AC}}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c137f839d6950d31a8ac64286c64465bc6d5bcad)
![{\displaystyle [D,AC]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e42fc6599acce461116b44187f35eec70f94647)
![{\displaystyle E=\langle [D,AC],a\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02919aa2a3c92de948854a9589dbfc0ac4ea04ab)
![{\displaystyle [A,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e620c2d40c7aa7e152d59d4d0b2afa0c1fe305)
![{\displaystyle B=\langle [A,a],d\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52debb17417d48c2a27530c9ba1314c1428612d3)
![{\displaystyle [B,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdb65af96493660533c3d137c3dfa4e5f955a4d)
![{\displaystyle C=\langle [B,a],d\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1eccf514713e368efd29748eec974d35a1129fd)
![{\displaystyle [A,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe709b8859596b56e7503057a31f735312cc143)
![{\displaystyle E=\langle [A,b],d\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624cb91b1dd48fb14ee7d95e897f0798104b44ff)
![{\displaystyle [E,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca8a40483d174cb9cd04ccd4811f2ff76896780)
![{\displaystyle F=\langle [E,b],d\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3a07445a96fc2397f632f574e758d75d732fb0)
![{\displaystyle [B,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6b1a16b5cadffe89a7208e0a707e7793512600)
![{\displaystyle G=\langle [B,c],w\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f288f225159ac44808bba07e0828931932a62d)
![{\displaystyle [B,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f108d8b92d6cda4f29413662fc93eaf908c0dcff)
![{\displaystyle C=\langle a,[B,b]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4daa39e9655a8b410b134ffe63acd355e982a2)
![{\displaystyle [D,{\overline {AD}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0980dcba1488f2b7b22b2f0c51fd9080027785ba)
![{\displaystyle E=\langle [D,{\overline {AD}}],d\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67cbb3d390cf388ad434b1443130859795bafe8)
![{\displaystyle [D,CD]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccd94a95826bb66e18f227fa9a9c697c07b5914)
![{\displaystyle E=\langle AD,[D,CD]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396100f68f27d7a20db3d803723a24db4abc766b)
![{\displaystyle [F,AE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae20e2e85fb6fbf75425905d2bcfe5bbd2f0254)
![{\displaystyle [A,AC]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2256574d51bb06735a1c7a751fb86bea1f41d38c)
![{\displaystyle E=\langle [A,AC],{\overleftrightarrow {AO}}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c2ae0ff775bdf4d5ebe27ce40d60f3d8ad1005)
![{\displaystyle [F,FD]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d437062daa90284738e6a8895a042119c38cd0ea)
![{\displaystyle G=\langle [F,FD],a\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf34457855f3d80c288df2b68d7d3fb6c5a1688)
![{\displaystyle [A,AG]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55eb5633ce7aa517f39e639a1ef3d549b293f20)
