航空聲學/線性聲學

介紹

在第波動方程與格林函式[1]章中，我們提到過流體中小幅度聲波的運動受波動方程支配。在本節中，我們打算正式證明這一說法。

靜止理想流體中的線性聲波

我們從流體運動的控制方程開始，即質量守恆（連續性）和動量守恆（納維-斯托克斯）。

可壓縮流體的連續性方程為

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial x_{i}}}=0$

納維-斯托克斯方程[2]也由以下給出

$\rho \left[{\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right]={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(-p\delta _{ij}+\tau _{ij})$

其中$\delta _{ij}$是克羅內克德爾塔[3]，而$\tau _{ij}$是偏應力張量。暫時讓我們假設我們正在處理靜止理想（無粘性）流體的波傳播。稍後，我們將擴充套件我們的分析以考慮運動的粘性流體。進一步假設聲波的運動會導致小幅度的波動，使得任何點的瞬時密度、壓力和速度分量可以寫成

$p=p_{0}+p'$

$\rho =\rho _{0}+\rho '$

$v_{i}=0+v'_{i}$

其中$p_{0}$和$\rho _{0}$分別是平均壓力和密度，它們與時間和位置無關。需要注意的是，平均速度被設定為零，因為我們假設流體是靜止的。將這些量代入質量和動量守恆定律，並忽略二階及更高階的波動項，我們得到

${\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial v'_{i}}{\partial x_{i}}}=0$

和

$\rho _{0}{\frac {\partial v_{i}'}{\partial t}}-{\frac {\partial p'}{\partial x_{i}}}=0$

現在，讓我們對線性化動量方程進行空間導數，並從線性化連續性方程的時間導數中減去它，得到

${\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}=0$.

我們可以從泰勒展開中得到壓力波動

$p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}\rho '+\left({\frac {\partial p}{\partial s}}\right)_{\rho }s'$

由於我們假設流體是無粘的，並且波動幅度很小，所以可以安全地假設聲波的運動不會產生熵，並且是一個等熵過程 [4]。因此，

$p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}\rho '=c_{0}^{2}\rho '$

因此，

${\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}=0$.

這是我們著名的波動方程。類似的方程也可以用於壓力和速度波動。值得注意的是，聲擾動的傳播速度為

$c_{0}={\sqrt {\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}}}$

這就是著名的聲速 [5]。

速度勢和波動方程

在上一節中，我們得到了一個關於密度波動的波動方程。一個替代的公式可以透過速度勢得到 [6]。

對線性化動量（尤拉）方程取旋度，並注意到梯度的旋度為零，我們得到

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla \times v'} \right)=0$

這意味著 **渦度 [7] 隨時間保持不變。** 如果我們認為初始渦度為零，則速度向量可以寫成任何時刻一個勢函式的梯度

$\mathbf {v'} (x,t)=\mathbf {\nabla } \Phi (x,t)$

然後，可以使用線性化的連續性和動量方程來獲得

${\frac {\partial ^{2}\Phi (x,t)}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\Phi (x,t)=0$

$p'=-\rho _{0}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

$\rho '=p'/c_{0}^{2}$