代數/算術/數值公理

代數

數值公理

可以以正式的方式定義一組常規的數字。皮亞諾公理定義了一系列被稱為自然數的數字。它們如下所示

1. 存在一個整數 0。
2. 每個自然數 a 都有一個後繼，記為 a + 1。
3. 不存在後繼為 0 的自然數。
4. 不同的自然數具有不同的後繼：如果 a <> b，則 a + 1 <> b + 1。
5. 如果一個性質為 0 所擁有，並且也為每個自然數的後繼所擁有，那麼它就為所有自然數所擁有。

讓我們嘗試激發這些公理。我們希望這些公理能夠消除任何不屬於自然數的集合。例如，任何滿足上述條件的集合至少應該是無限的。

前兩個是自然數（以及我們所知的整數）的明顯性質。請注意，有些人更喜歡將 1 作為最小的數字。選擇零的原因源於 [集合論]，其中第一個自然數被選為空集 $\emptyset$.

第三個公理防止迴圈。如果沒有這個公理，定義 $0+1=0$ 將會微不足道地滿足剩餘的公理 - 透過考慮每個剩餘的公理來證明這一點！

第四個公理防止部分迴圈。考慮一個集合 $\{0,1\}$ 並設定 $0+1=1$ 和 $1+1=1$。這個集合滿足除第四個公理之外的所有公理 - 自己證明這一點。

第五個公理有時被稱為歸納公理。它確保集合是連通的，即我們可以透過對 0 重複使用第二個公理來達到任何數字。一個滿足除第五個公理之外所有公理的集合的例子是 $\left\{0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots \right\}$，具有 +1 的通常含義。

由此我們可以推匯出存在一系列這樣的量

• 0
• 0 + 1
• 0 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 等等

其中“0”是一個常數，也是第一個自然數，“1”是一個常數，它等於兩個連續自然數之間的值差。

這個集合足以用於計數。然而，將一個大的自然數表示為“0”後跟所需的大量“+ 1”表示式是不方便的。由於這一點，每個自然數都被賦予一個標籤，為了使標籤更容易，引入了另一個公理

“0 + 1”等效於“1”。

因此，自然數序列可以為了簡潔而這樣寫

• 0
• 1
• 1 + 1
• 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 等等

一旦完成，給每個量賦予自己的標籤就變得微不足道。因此，自然數序列可以寫成

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 等等