代數/第 2 章/邏輯與證明

代數

2.6: 邏輯與證明

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構建條件語句的證明

等式的性質

性質名稱	加法	減法	乘法	除法
交換律	$a+b=b+a$	不適用 $a-b\neq b-a$ 適用於 $a+(-b)=(-b)+a$	$a*b=b*a$	不適用 $a/b\neq b/a$ 適用於 $a*1/b=1/b*a$
結合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$	不適用 $(a-b)-c\neq a-(b-c)$ 適用於 $(a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)$	$(a*b)*c=a*(b*c)$	不適用 $(a/b)/c\neq a/(b/c)$ 適用於 $(a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c$
單位元	$a+0=a$	$a-0=a$	$a*1=a$	$a/1=a$
逆元	$a+-a=0$	$a-a=0$	$a*(1/a)=1$   只要 a ≠ 0.	$a/a=1$   只要 a ≠ 0.
分配律	$a*(b+c)=a*b+a*c$	$a*(b-c)=a*b-a*c$	$a*(b+c)=a*b+a*c$	$(a+b)/c=a/c+b/c$ 但是等等 $a/(b+c)\neq a/b+a/c$

練習題

問題 2.80 (利用數的性質) 利用交換律和結合律證明以下恆等式，並證明每一步。

$a.\ (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)$
$b.\ (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)$
$c.\ (a-b)+(c-d)=(a+c)+(-b-c)$
$d.\ (a-b)+(c-d)=(a+d)-(b+c)$
$e.\ (a-b)+(c-d)=(a-d)+(c-b)$
$f.\ (a-b)+(c-d)=-(b+d)+(a+c)$
$g.\ ((a+b)+c)+d=(a+c)+(b+d)$
$h.\ (a-b)-(c-d)=(a-c)+(d-b)$

問題 2.81 (利用數的性質) 判斷以下語句是真還是假。說明你的結論。

a. 如果 $a$、$b$ 和 $c$ 是整數，那麼數字 $ab+bc$ 是一個偶數。
b. 如果 $b$ 和 $c$ 是奇數，$a$ 是一個整數，那麼數字 $ab+bc$ 是一個偶數。

問題 2.82（利用數字的性質） 我們定義一個整數 $a$ 為

• 型別 I 如果 $a=4n$，其中 $n$ 是一個整數
• 型別 II 如果 $a=4n+1$，其中 $n$ 是一個整數
• 型別 III 如果 $a=4n+2$，其中 $n$ 是一個整數
• 型別 IV 如果 $a=4n+3$，其中 $n$ 是一個整數

a. 為上面四種類型的整數各提供至少兩個例子。
b. 如果 $a$ 是偶數，那麼它屬於型別 I 或型別 III 嗎？請證明您的答案。
c. 如果 $a*b$ 屬於型別 I，只要 $a$ 或 $b$ 屬於型別 III 嗎？請證明您的答案。

問題 2.83（利用數字的性質） 對於所有實數 $x$ 和正整數 $n$，證明

$(1-x)(1+x+x^{2}+...+x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1}$