2.4: 實數的性質
我們已經在第一章 中討論過不同種類的數字。但是，在本節中，我們將使用更復雜的語言來指代它們，並檢視每種數字的獨特性質。
在數學中，有許多不同種類的數字的名稱，你已經遇到過很多這些種類，並且其中一些種類包含其他種類。例如，我們可以從整數開始，例如 0、1、2、3 等。使用減法，我們可以透過從較小的數字中減去較大的數字來構造負數，從而得到集合 {... -3, -2, -1, 0} 中的答案。
使用除法，我們可以透過將較小的數字除以較大的數字來識別 0 和 1 之間的分數，例如 {1/2, 2/3, 3/4, ...} 或 {-1/-2, -2/-3, -3/-4, ....}。我們也可以透過將負數除以正數或正數除以負數來識別 -1 和 0 之間的負分數 {-1/2, -2/3, -3/4, ...} 或 {1/-2, 2/-3, 3/-4, ...}。每個整數都可以寫成分數，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}}
有理數是稱為實數的數字的子集。一些計算器允許你透過將有理數表示為分數來區分有理數和實數。如果你使用小數表示法，有理數中的小數可能會無限迴圈，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots }
數的種類 實數 包括零 (0)、正負整數 (-3, -1, 2, 4) 以及介於兩者之間的所有分數和小數 (0.4, 3.1415927, 1/2)。實數分為有理數和無理數。實數集用 ℝ 表示。
有理數 是可以表示為兩個整數的比率（即除法）的數 ( 2 3 {\displaystyle {2 \over 3}} 0.6 {\displaystyle 0.6} 3 {\displaystyle 3} − 4.7 {\displaystyle -4.7} 0. 111 ¯ . . . {\displaystyle 0.{\overline {111}}...} 3.6 {\displaystyle 3.6} 5.263 {\displaystyle 5.263} 1. 333 ¯ . . . . {\displaystyle 1.{\overline {333}}....}
無理數 的小數部分不終止也不迴圈 ( 2.71828... {\displaystyle 2.71828...} 3.14159... {\displaystyle 3.14159...} 並且 不能表示為分數。例如，數字 2 = 1.41421356... {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356...}
自然數 ，也稱為“計數數”，是您學習的第一個數字。自然數包括所有正整數（1、24、6、2、357）。注意，零不包括在內，分數或小數也不包括在內。自然數集用 ℕ 表示。
整數 是自然數加上零。整數集用 𝕎 表示。
整數 是所有沒有小數部分的正數和負數（3、-1、15、-42）。整數集用 ℤ 表示。
我們從回顧算術的基本性質開始。給下面列出的幾個性質如此多的強調可能看起來不尋常，但有一個很好的理由。粗略地說，所有代數都遵循下面表格中列出的 5 個性質 。在下面的表格中，a 、b 和 c 可以是任何數字，除非另有說明。所以讓我們來看看
性質名稱
加法
減法
乘法
除法
交換律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 不適用 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} 不適用 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
結合律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 不適用 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 不適用 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
單位元
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a} a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0} a − a = 0 {\displaystyle a-a=0} a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} a / a = 1 {\displaystyle a/a=1}
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c} a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} ( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
我們用 a = 7，b = 1 和 c = 1 來應用分配律。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7 雖然這看起來很明顯，但這是上面提到的乘法的**單位元律**。現在讓我們嘗試用 7 · 3 做同樣的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1) 和之前一樣，這只是 3 = 1 + 1 + 1 以及替換的結果。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 我們再次應用分配律。注意，我們可以將其應用於括號中包含兩個以上數字的加法表示式。證明如下。雖然 7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 不僅由分配律涵蓋，但這個問題可以透過用括號將最後兩個 1 分組來解決。與其寫成 7 · (1 + 1 + 1)，不如寫成 7 · (1 + (1 + 1))，然後用 a = 7，b = 1 和 c = (1 + 1) 來使用分配律。然後：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1)。現在我們只對第二項應用分配律（取 a = 7，b = 1 和 c = 1）。然後（只看第二項）我們有 7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1。最後，我們可以將此表示式替換回方程的第二項，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1。
這看起來像是很多無腦的括號操作，但關鍵是分配律適用於任意長的和和積。同樣也適用於
a · (b + c + d + e ) = a · b + a · c + a · d + a · e 或者我們可以把它寫得更長！我們可以使求和中有任意多個項；只要在右側的每一項之前都有“a · ”，這個等式就成立。我們將在沒有證明的情況下使用這個結論（即不證明它）。讓我們回顧一下這些性質告訴我們關於算術的什麼知識。交換律和結合律一起表明，我們加東西的順序並不重要。讓我們看看原因。結合律告訴我們a + (b + c ) = (a + b ) + c a + b + c 的陳述。為什麼呢？因為通常加法只定義在兩個東西之間，所以當有人寫下像a + b + c b 和c 加起來，然後再加上a ，而另一些人可能首先將a 和b 加起來，然後再加上c 。這個性質（使用公式）表明，無論你用哪種方法都沒關係。那些先將a 和c 加起來的人呢？這正是交換律發揮作用的地方。它告訴我們，我們不必按照人們寫下的順序來加東西。你可以交換順序，仍然得到相同的答案。讓我們再舉一個使用這些性質來“調整括號”的例子，看看交換律是如何說你真的可以先將a 和c 加起來並得到相同答案的。
b + c = c + b 這是將加法的交換律應用於b + c
a + (b + c ) = a + (c + b )這是由替換得到的
a + (b + c ) = (a + c ) + b 這僅僅是將結合律應用於上面等式的右邊。
交換律和結合律告訴你，加a + b + c
乘法的相同性質告訴我們，乘東西的順序並不重要。我們可以隨意改變順序，以使運算更容易。它真的可以使事情更容易嗎？當然！例如，如果你被要求計算 4 · 3 · 5 · (1/4)，那麼我個人認為計算 4 · (1/4) · 3 · 5 會更容易
單位 和逆 性質真正捕捉到“加法和減法是相反的”以及“乘法和除法是相反的，只要我們不乘以零”的含義。我們將在練習中留給感興趣的讀者思考為什麼會這樣。
你通常可以使用分配律來簡化表示式。這是它如此重要的原因之一。例如，考慮表示式2(x − 7) + 14 。如果我們在該表示式的第一項上使用分配律會發生什麼？讓我們算一下。根據分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14 將此代入上面的表示式，我們得到2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x 。顯然，2x 比2(x − 7) + 14 更容易計算！
除法不滿足交換律。這意味著通常 a ÷ b 不等於 b ÷ a，並且可以透過簡單的例子來證明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
雖然除法本身不滿足交換律，但確實 存在兩種特殊情況，在這種情況下，如果顛倒運算順序，答案（商）相同。當答案（商）為 1 或當答案為 -1 時，就會出現這些情況
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代數中有一些基本定律。理解這些定律將幫助你操縱和解方程，並理解代數關係。
一般來說，專案順序可以改變，而不會影響結果。
對於加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}
對於乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX}
請注意，交換律不適用於減法或除法。
一般來說，改變項的組合方式不會影響結果。（這似乎是交換律的擴充套件）。
對於加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
對於乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z}
與交換律一樣，結合律不適用於減法或除法。
表明可以將公因數分解出來，或者將因子分配出去。(A + B) X = (A X) + (B X) （右邊“X”項組合成左邊的一個因子；左邊“X”因子分配到右邊）。
考慮將X = (Y + Z) 代入上述方程式，得到 (A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z) 。將分配律應用於右邊每一項得到 A Y + A Z + B Y + B Z 。如果我們乘以以下表達式中標有“F O I L”的項，我們可以跳過中間步驟 (A + B) (Y + Z) =
字母
描述
項
F
首項
A Y +
O
外項
A Z +
I
內項
B Y +
L
末項
B Z
對於加法和減法 ，恆等律表明，對給定項或數量進行加 和減 運算，結果為零，0，它是加法和減法的恆等元。或者，加上恆等元不會改變原始值或數量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
在第一個方程的兩邊都加上 A，我們得到 (A - A) + A = 0 + A 。重新排列或代入得到 0 + A = A
請注意A = A + 0 = A + 0 + 0 的特殊情況。 對於乘法和除法 ，恆等律表明，對給定項或數量進行乘 和除 運算，結果為“一”，1，它是乘法和除法的恆等元。或者，用恆等元乘或除不會改變原始值或數量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
請注意，用 1 除以一個項或數量，得到該項或數量的倒數。用倒數乘等於用該項或數量除。在上面的右邊方程中，(Y / 1) 和 (1 / Y) 互為倒數。
請注意 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=}
透過將第一個特殊情況方程式代入，簡化為 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} . . . 將第一個方程的兩邊乘以“Y” ，得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} (Y) = (1) Y.
問題 2.54 （確定實數的性質）反例 .
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.} b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.} c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.} d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.} e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
問題 52 的可能的答案
a. 有時為真。數字
-1 是一個整數，但它不是一個整數。
b. 有時為真。數字0 是一個整數，但它不是一個自然數。c. 從不為真。整數包括所有負數和非分數的整數。d. 總是為真。實數集部分包括自然數。
e. 有時為真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的積等於 1。
a. 有時為真。數字
-1 是一個整數，但它不是一個整數。
b. 有時為真。數字0 是一個整數，但它不是一個自然數。c. 從不為真。整數包括所有負數和非分數的整數。d. 總是為真。實數集部分包括自然數。
e. 有時為真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的積等於 1。
問題 2.55 （識別實數的性質）
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16} b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6} c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7} d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1} e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
第 53 題答案
a. 分配律
b. 加法恆等式
e. 乘法結合律
a. 分配律
b. 加法恆等式
e. 乘法結合律
問題 2.56 (乘積模式)
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
問題 2.57 (高斯定理)
問題 2.58 (操縱高斯定理)問題 2.55 中使用的技術來找到幾個數字的總和。你能找到以下內容嗎？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201} b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200} c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000} d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
問題 2.59 (數字的逆元)加法逆元 相加，你將得到零。同樣，乘法逆元性質指出，如果你將一個數字與其倒數或其乘法逆元 相乘，你將得到一。找到以下數字的加法逆元和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6} b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}} c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33} d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
問題 2.60 （使用分配律）
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)} b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)} c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)} d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)} e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)} f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
問題 2.61 （三項式分配律）
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
問題 2.62 （改寫表示式）
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
問題 2.63 （乘法和分配律）
問題 2.64 （和/差的平方） a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}} b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
問題 2.65 （棘手的乘積）
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}} b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}} c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)} d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)} e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
問題 63 的答案
a. 10201
b. 9025
e. 5041
a. 10201
b. 9025
e. 5041
問題 2.66 （1001 的秘密）
問題 2.67 （ABCD） a − d {\displaystyle a-d} b + c {\displaystyle b+c}
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
問題 64 的解答
從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上重新寫成以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
根據加法的交換律，該表示式可以改寫成
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
根據分配律，可以進一步改寫為
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上重新寫成以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
根據加法的交換律，該表示式可以改寫成
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
根據分配律，可以進一步改寫為
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 問題 2.68 （實數的稠密性）
問題 60 的解答
讓我們選擇一個介於 0 和 1 之間的數字，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後我們可以選擇一個介於 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數字，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一個介於
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數字，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續這樣做，我們總能找到我們選擇的任意兩個數字之間的數字。因此，0 和 1 之間有無限多個實數。
讓我們選擇一個介於 0 和 1 之間的數字，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後我們可以選擇一個介於 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數字，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一個介於
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數字，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續這樣做，我們總能找到我們選擇的任意兩個數字之間的數字。因此，0 和 1 之間有無限多個實數。
封閉性 是為一組實數和一個運算定義的一個性質。這篇文章 維基百科文章 給出了封閉性屬性的描述，以及來自數學各個領域的示例。作為一個代數學生，瞭解封閉性屬性可以幫助你解決問題。例如，一個問題可能說“兩個整數的和是 24”。隨著練習，你將能夠看到可能的數字集將是全部奇數（例如 (1,23),(3,21), ... 等等）或全部偶數（例如 (2,22), (4,20), ... 等等）。該問題可能沒有明確說明整數的概念。它可能說明一個正方形的兩個邊之和為 24。如果你記得之前做過類似的問題，你就知道正方形的邊需要相等，你需要除以 2。問題的作者可能想更難一些，說一個等邊三角形的兩邊之和為 24，然後問三角形的周長。在這種情況下，你可能想寫出等式 3 x = p {\displaystyle 3x=p}
問題 2.69 （運算的封閉性）
加法
減法
乘法
除法
指數
根
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
問題 2.70 （集合的封閉性） { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}}
*
a
b
c
d
e
a b
c
e
a
d
b d
a
c
b
e
c c
d
b
e
a
d a
e
d
c
b
e e
b
a
d
c
該集合在乘法下是否封閉？
實數 a {\displaystyle a} 絕對值 （或模數 ），用 | a | {\displaystyle |a|} 始終取為非負數 。例如，左側的圖示顯示了以下內容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3} -5 的絕對值為 5，因為它距離零點 5 個單位，而 3 的絕對值為 3，因為它距離零點 3 個單位。正數或零的絕對值始終是其本身。相反，負數的絕對值是其相反數。
同樣，數軸上兩個數字之間的距離可以看作它們之差的絕對值。
問題 2.71 （排序數字 I）
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}} 問題 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} 問題 2.72 （數字排序 II）
問題 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} 問題 2.73 （絕對值表示式）
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|} b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|} c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|} d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|} e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11} g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}} h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}} i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
問題 71 的答案
a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 問題 2.74 (絕對值比率) x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}} 問題 2.75 (值的範圍 I) 24 < x < 39 {\displaystyle 24<x<39}
| x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 問題 2.76 (值的範圍 II) − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12}
| x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 問題 2.77 (值的範圍 III) − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4}
| x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 問題 2.78 (最小可能的絕對值)n 是一個整數，則以下表達式的最小可能值是多少？
| 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 問題 2.79 (三角形不等式)
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此關係式確定邊長為 6、9 和 14 的三角形是否存在。b. 使用此關係式確定邊長為 5、10 和 15 的三角形是否存在。c. 除了幾何應用之外，上述不等式還表明，兩個數 a 和 b 之和的絕對值小於或等於 a 的絕對值與 b 的絕對值之和。證明此關係式成立。
我們將在大部份代數學習中使用的所有數字稱為實數。實數包含有理數和無理數。無理數是指小數部分無限不迴圈的數字，例如圓周率。有理數是指所有可以表示為整數分數的數字，包括自然數、整數、負數、零和分數。對於所有實數，加法和乘法都具有一些特性：交換律、結合律、單位元、逆元和分配律。分配律在課程的其餘部分將非常有用。
