代數/第 2 章/集合
2.3: 集合
在本節中，我們主要設定了一些有用的符號。雖然這裡的想法對於代數研究不是非常核心，但它們確實會不時出現，所以請注意！正因為這些想法不是每頁都會重複出現，所以當它們在後面突然出現時可能會令人困惑。所以，請準備好根據需要重新訪問本節以重新整理記憶。
集合是事物的集合。它們也是表示式的一個例子，因為集合也描述了我們感興趣的數學物件，在這種情況下，是一組物件。
集合的例子可能是英語字母中使用的字母的集合，或者約翰·斯坦貝克寫的書的集合。對我們來說，我們將討論的集合通常是數字的集合，因為這些是在代數中很重要的集合。集合中的每一件事物都稱為該集合的元素。集合中的元素數量可能是有限的，也可能是無限的。唯一的要求是，集合的元素應該以某種方式明確地描述，現在或將來（在我們解決了一些問題之後）。在這本書中，我們主要嘗試使用大寫字母作為集合的符號，而小寫字母通常（但不總是！）用於變數。
一個集合可能沒有任何元素；這樣的集合被稱為空集或零集。對於空集，我們使用符號 ∅ 來表示它。
一個集合可以透過在集合的元素列表周圍放置花括號，即 { 和 }，並用逗號分隔每個元素來編寫。例如，一個包含從 1 到 10 的自然數或整數的集合 S 可以表示如下
並不總是可以列出集合中的所有數字。在這些情況下，我們依靠英語來描述集合。沒錯！文字也是數學的重要組成部分。最後也是可能最常見的符號涉及使用變數和代數表示式，以及對變數可以取值的描述。例如，要描述平方數的集合，我們可以寫
或者我們甚至可以使用其他集合在描述中，例如
有時我們想明確地表明某個特定數字（或事物）在集合中。保留上面的示例中的 S，我們知道 2 是 S 的一個元素，而不是用英語寫出來，有時人們使用簡寫形式 2 ∈ S。選擇符號 ∈ 是因為它看起來像字母 E，而 E 是“元素”這個詞的第一個字母。如果我們想表達某物不是集合的一部分，我們使用符號 ∉。所以為了繼續我們的例子，我們知道 11 ∉ S。
讓我們來看一個練習題。
問題。對於以下每個集合，確定 7 是否在集合中
- A={1, 2, 3, 5}
- 奇數集合 O。
- C={1, 2, 3, 4, 5, …, 100}
- 所有素數的集合 P。
答案。
- 我們可以透過檢查發現 7 ∉ A。
- 7 ∈ O，因為 7 是一個奇數。
- 7 ∈ C。這是一個有點技巧的問題。雖然還沒有明確地說出來，但在列出元素時，人們有時使用 … 表示“遵循模式”。在數學的其他部分，… 繼續以這種方式使用，所以現在是時候習慣它了。這裡的模式是我們從 1 開始，然後不斷地將數字增大 1，所以是的，如果我們繼續下去，我們將到達 7。
- 7 ∈ P。這個問題要求我們嘗試分解 7，或者之前已經知道它是素數。由於 2、3、4、5、6 在我們用它們除以 7 時都會留下餘數，因此我們看到 7 是一個素數。
我們現在介紹了當您有兩個或多個集合時出現的基本概念。
有時，一個集合中的每個元素都包含在另一個集合中。例如，設 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 且 T = {2, 4, 6, 8, 10}。顯然 T 只是 1 到 10 之間的偶數，並且 T 中的每個數字都已在 S 中。在這個例子中，我們會說 T 是 S 的子集。我們不必說哪個集合更小，而是可以改為說哪個集合更大，將其稱為超集。也就是說，我們可以說 S 是 T 的超集。隨著人們越來越多地處理集合，人們越來越傾向於說 T 小於 S（或者可能是 小於 S）。事實上，我們已經說了！因為一個集合包含在另一個集合中的關係與一個數字小於另一個數字的關係非常相似，所以自然而然地引入了與不等式符號 < 非常相似的符號。為了避免將集合與數字混淆，我們不想使用完全相同的符號，所以我們將稍微圓化一點，使用符號 ⊂。因此，與其用文字寫出“T 是 S 的子集”，我們可以寫 T ⊆ S。就像不等式一樣，我們可以翻轉符號。我們只需要確保圓的一側指向更小的東西。也就是說，對於我們的例子，我們可以寫 S ⊃ T。
如果兩個集合具有完全相同的元素怎麼辦？在這種情況下，我們說這兩個集合是相等的。所以，如果有人說讓我們 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，那麼我們說 S 和 U 是相等的。這次我們不用擔心將集合和數字混淆，我們將堅持使用符號 = 來表示兩個集合相等的情況。所以我們可以寫 S = T。是否有對應於 ≤ 和 ≥ 的關係？是的，它們是 ⊆ 和 ⊇，並且它們按您預期的方式工作。這裡有一個表格解釋了這些符號是如何工作的。
空集是所有集合的子集。
| 語句 | 含義 |
|---|---|
| T ⊂ S | 表示 T 是 S 的子集。也就是說，T 的每個元素都是 S 中的一個元素，但 S 中存在一些不在 T 中的元素。 |
| T ⊃ S | 表示 S 是 T 的子集。也就是說，S 的每個元素都是 T 中的一個元素，但 T 中存在一些不在 S 中的元素。 |
| S = T | 表示 S 和 T 具有完全相同的元素。也就是說，用更多一些的詞來說，S 的每個元素都是 T 的一個元素，並且 T 的每個元素都是 S 的一個元素。 |
| T ⊆ S | 表示 T 的每個元素都是 S 的一個元素。（注意，這樣說允許 S = T 的可能性） |
| S ⊇ T | 表示 T 的每個元素都是 S 的一個元素。 |
維恩圖使用簡單的閉合曲線（如平面上的圓形）來顯示集合之間的邏輯關係。
|
約翰·維恩 |
集合還有兩種操作。給定集合S和T，我們可能想要談論所有在S或T中的元素。由於集合只是一個事物的集合，而“在S或T中的元素”也是一個集合，所以你可以將此視為定義一個稱為S和T的**並集**的新集合。我們用S ∪ T來表示S和T的並集。我們使用符號∪，因為它看起來像u，而u是“並集”一詞的第一個字母。讓我們舉個例子。
問題。假設S = {2, 4, 6, 8, 10}和T = {3, 6, 9, 12, 15}，求S ∪ T。
答案。S ∪ T = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}
在這個例子中需要注意的一點是，S ∪ T不包含兩個6。並集包含兩個集合中的所有元素，但6仍然是一個事物，恰好在兩個集合中。
給定集合S和T，與其考慮在任一集合中的事物，不如考慮在兩個集合中的事物。我們再次考慮“S和T中所有元素的集合”，這個集合稱為S和T的**交集**。我們用S ∩ T來表示S和T的交集。我們不使用符號∩，因為它看起來像i。它沒有。不知何故，兩個符號之間的i看起來並不好，所以我們想選擇其他的東西。這個符號只是並集符號的倒置。讓我們考慮一下上面問題中的交集是什麼樣子的。
問題。假設S = {2, 4, 6, 8, 10}和T = {3, 6, 9, 12, 15}，求S ∩ T。
答案。S ∩ T = {6}
數字6是兩個集合中唯一的數字，所以它是交集的唯一元素。
下標
[edit | edit source]在像“令x和y為數字”這樣的句子中，我們可以推測的可能性。如果我們希望排除這種可能性，我們會明確說明。我們會說“令x和y為不同的數字”。我們可以繼續這種模式，談論兩個以上的變數，例如在句子“令x，y和z為數字”中。但字母表中只有二十六個字母。在有限的選擇中，我們顯然會在列舉變數時用完字母。因此，我們使用帶下標的新符號，即寫在數字旁邊的微小數字。我們可以像下面這樣使用這種新符號
當然，這句話最一般的情況是
其中n代表集合中的物件數量。