代數/第 2 章/集合

代數

2.3：集合

---

在本節中，我們主要設定了一些有用的符號。雖然這裡的想法對於代數研究來說並不十分重要，但它們確實會時不時地出現，所以請注意！正是因為這些想法並不在每一頁都重新出現，所以當它們突然出現在後面時，它們可能會令人困惑。因此，請準備好根據需要重新訪問本節以重新整理您的記憶。

集合與數軸

集合是一組事物。它們也是表示式的一個例子，因為集合也描述了我們感興趣的數學物件，在這種情況下是一組物件。

集合的例子可能是英語字母表中使用的字母集合，或約翰·斯坦貝克撰寫的所有書籍的集合。對我們來說，我們將討論的集合通常是數字集合，因為這些是代數中重要的集合。集合中的每個事物稱為集合的元素。集合中元素的數量可以是有限的，也可以是無限的。唯一的要求是集合的元素應該以某種方式明確描述，無論是在現在還是在將來（在我們解決某個問題之後）。在這本書中，我們主要嘗試使用大寫字母作為集合的符號，而小寫字母通常（但並不總是！）用於變數。

一個集合中可能沒有元素；這樣的集合稱為空集或零集。對於空集，我們使用符號∅來表示它。

一個集合可以透過在大括號，即{和}，內放置一個元素列表來寫出，每個元素用逗號隔開。例如，一個包含 1 到 10 的自然數或整數的集合 S 可以顯示如下

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\,$

並非總是能夠列出集合中的所有數字。在這些情況下，我們依賴英語來描述集合。沒錯！文字也是數學的重要組成部分。最後也是可能最常見的符號涉及使用變數和代數表示式，以及對變數可以取值的描述。例如，要描述平方數的集合，我們可以寫

$\{n^{2}\mid n{\text{ is a whole number.}}\}$

或者我們甚至可以在描述中使用其他集合，例如

${\Big \{}n^{2}\mid n\in \{0,1,2,3,\ldots \}{\Big \}}$

有時我們想明確地表明一個特定的數字（或事物）在一個集合中。保持 S 來自上面的例子，我們知道 2 是 S 的元素，而不是用英語寫出來，有時人們會使用簡寫 2 ∈ S。選擇符號 ∈ 是因為它看起來像 E，而 E 是“元素”這個詞的第一個字母。如果我們想表達某個東西不屬於某個集合，我們使用符號 ∉。所以繼續我們的例子，我們知道 11 ∉ S。

讓我們來看看一個練習題。

問題。對於以下每個集合，判斷 7 是否在集合中

1. A={1, 2, 3, 5}
2. 奇數集 O。
3. C={1, 2, 3, 4, 5, …, 100}
4. 所有素數的集合 P。

答案。

1. 我們可以透過觀察看到 7 ∉ A。
2. 7 ∈ O 因為 7 是一個奇數。
3. 7 ∈ C。這是一個有點棘手的問題。雖然還沒有明確地說過，但當列出元素時，人們有時使用 … 來表示“遵循模式”。而在數學的其他地方，… 繼續以這種方式使用，所以現在是時候習慣它了。這裡模式是我們從 1 開始，然後不斷地使數字增大 1，所以是的，如果我們繼續下去，我們將到達 7。
4. 7 ∈ P。這個問題要求我們嘗試分解 7，或者之前已經知道它是素數。由於 2、3、4、5、6 在我們用它們除以 7 時都會留下餘數，所以我們看到 7 是一個素數。

我們現在介紹了當你有兩個或多個集合時出現的基本思想。

子集與超集

有時一個集合中的每個元素都包含在另一個集合中。例如，令 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 且 T = {2, 4, 6, 8, 10}。顯然 T 只是 1 到 10 之間的偶數，並且 T 中的每個數字都已經在 S 中。在這個例子中，我們會說 T 是 S 的子集。與其說哪個集合更小，不如說哪個集合更大，稱之為超集。也就是說，我們可以說 S 是 T 的超集。隨著人們越來越深入地處理集合，人們越來越傾向於說 T 小於 S（或者可能是 小於 S）。事實上，我們已經這樣說了！因為一個集合包含在另一個集合中的關係與一個數字小於另一個數字的關係如此相似，所以引入一個與不等號 < 非常相似的符號是自然的。為了避免將集合與數字混淆，我們不想使用完全相同的符號，所以我們將圓點稍微圓一點，使用符號 ⊂。因此，與其用文字寫“T 是 S 的子集”，不如寫 T ⊆ S。就像不等式一樣，我們可以將符號顛倒過來。我們只需要確保圓的一端指向較小的那個。也就是說，對於我們的例子，我們可以寫 S ⊃ T。

如果兩個集合具有完全相同的元素怎麼辦？在這種情況下，我們說這兩個集合是相等的。因此，如果有人說令 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，那麼我們說 S 和 U 是相等的。這次我們不必擔心將集合和數字混淆，我們將堅持使用符號 = 來表示兩個集合相等時。所以我們可以寫 S = T。是否存在對應於 ≤ 和 ≥ 的關係？是的，它們是 ⊆ 和 ⊇，它們的工作方式如您預期的那樣。以下表格解釋了每個符號的工作原理。

空集是所有集合的子集。

語句	含義
T ⊂ S	表示 T 是 S 的子集。也就是說 T 的每個元素都是 S 的元素，但 S 中存在某個元素不在 T 中。
T ⊃ S	表示S 是 T 的真子集。也就是說，S 的每個元素都是 T 中的元素，但 T 中存在某些元素不在 S 中。
S = T	表示S 和 T 包含完全相同的元素。也就是說，S 的每個元素都是 T 中的元素，並且 T 的每個元素都是 S 中的元素。
T ⊆ S	表示T 的每個元素都是 S 中的元素。（請注意，這種說法允許 S = T 的可能性）
S ⊇ T	表示T 的每個元素都是 S 中的元素。

文氏圖

文氏圖 使用平面上的簡單閉合曲線（如圓）來顯示集合之間的邏輯關係。

約翰·文恩

並集和交集

關於集合還有另外兩件事需要做。給定集合 S 和 T，我們可能想談論在 S 或 T 中的 所有 元素。因為集合僅僅是事物的集合，而“在 S 或 T 中的元素”也是一個集合，所以你可以把它看作是定義一個名為 S 和 T 的並集的新集合。我們將 S 和 T 的並集寫成 S ∪ T。我們使用符號 ∪ 因為它看起來像 u，而 u 是“union”（並集）這個單詞的首字母。讓我們做一個例子。

問題。 假設 S = {2, 4, 6, 8, 10} 並且 T = {3, 6, 9, 12, 15}，求 S ∪ T。

答案。 S ∪ T = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}

在這個例子中，需要注意的一點是，S ∪ T 不包含兩個 6。並集包含任一集合中的所有元素，但 6 仍然只是 一個東西，恰好在兩個集合中。

給定集合 S 和 T，與其思考在任一集合中的東西，不如考慮在 兩者 集合中 的東西。我們再次考慮“在 S 和 T 中的元素”的集合，這個集合被稱為 S 和 T 的交集。我們將 S 和 T 的交集寫成 S ∩ T。我們不使用符號 ∩ 因為它看起來像 i。它不是。不知何故，兩個符號之間的 i 不會好看，所以我們想選擇別的東西。這個符號僅僅是並集符號的倒置符號。讓我們考慮一下上述問題中的交集是什麼樣子的。

問題。 假設 S = {2, 4, 6, 8, 10} 並且 T = {3, 6, 9, 12, 15}，求 S ∩ T。

答案。 S ∩ T = {6}

數字 6 是兩個集合中唯一的數字，因此它是交集中唯一的元素。

下標

在“令 x 和 y 為數字”這樣的句子中，我們可以假設 $x=y$ 的可能性。如果我們希望排除這種可能性，我們會明確說明。我們會說“令 x 和 y 為不同的數字”。我們可以繼續使用這種模式，談論超過兩個變數，例如在“令 x、y 和 z 為數字”這樣的句子中。但字母表中只有二十六個字母。由於可選字母有限，我們顯然會在列舉變數時用完字母。因此，我們使用帶有下標的新符號，下標是寫在數字旁邊的微小數字。我們可以使用以下新符號

$Let\ x_{1},\ x_{2}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\ be\ numbers.$

當然，這個句子的最一般形式是

$Let\ x_{1},......,x_{n}\ be\ numbers.$

其中 n 表示集合中物件的數量。