2.4: 實數的性質
我們已經在第 1 章 中討論了不同型別的數字。但是，在本節中，我們將使用更復雜的語言來指代它們，並檢視每種數字的獨特性質。
在數學中，有許多不同型別數字的名稱，你已經遇到過很多這些型別，並且其中一些型別包含了其他型別。例如，我們可以從整數開始，例如 0、1、2、3 等。使用減法，我們可以透過從較大的數字中減去較小的數字來構建負數，從而得到集合 {... -3, -2, -1, 0} 中的答案。
使用除法，我們可以透過將較小的數字除以較大的數字來識別 0 和 1 之間的分數，例如 {1/2, 2/3, 3/4, ...} 或 {-1/-2, -2/-3, -3/-4, ....}。我們還可以透過將負數除以正數或將正數除以負數來識別 -1 和 0 之間的負分數 {-1/2, -2/3, -3/4, ...} 或 {1/-2, 2/-3, 3/-4, ...}。每個整數都可以寫成分數，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}}
有理數是稱為實數的數字子集。一些計算器允許你透過將有理數表示成分數來區分有理數和實數。如果你使用十進位制表示法，你中有理數的小數可能永遠持續下去，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots }
我們從回顧算術的基本性質開始。可能看起來給下面列出的幾個性質賦予如此大的強調似乎很不尋常，但有一個很好的理由。粗略地說，所有的代數都遵循下面表格中列出的 5 個性質 。在下面的表格中，a 、b 和 c 可以是任何數字，除非另有說明。所以讓我們來看看
屬性名稱
加法
減法
乘法
除法
交換律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 不成立 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} 不成立 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
結合律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 不成立 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 不成立 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
恆等式
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a} a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0} a − a = 0 {\displaystyle a-a=0} a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} a / a = 1 {\displaystyle a/a=1}
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c} a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} ( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
交換律 是指交換兩個數字的順序仍然得到相同的答案。結合律 是指可以改變分組（即改變括號的位置）並仍然得到相同的答案。恆等律 是指存在一個特定的數字，當它與另一個數字進行運算時不會改變該數字。逆元 是指產生恆等數字的東西。分配律 是指可以分配運算。在所有這些性質中，分配律可能是你最常使用的一個，因為它是在一個表示式中同時涉及加法和乘法的唯一一個。舉個例子：這些性質甚至蘊含了諸如“乘法是重複的加法”之類的基本結論。這本書不會證明很多東西，但看看它是如何工作的對我們來說將是有用的。
我們將分配律應用於 a = 7、b = 1 和 c = 1。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7 儘管這看起來很明顯，但這實際上是上面提到的乘法的恆等律 。現在我們嘗試對7 · 3 做同樣的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1) 就像之前一樣，這僅僅是 3 = 1 + 1 + 1 的事實以及代入。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 再次，我們應用分配律。請注意，我們可以將它應用於括號中包含兩個以上數字相加的表示式。證明如下。雖然7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 沒有完全被分配律覆蓋，但這個問題可以透過用括號將最後兩個 1s 括起來來解決。我們可以用7 · (1 + (1 + 1)) 來代替7 · (1 + 1 + 1) ，然後使用分配律，其中a = 7、b = 1 且c = (1 + 1)。然後：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1) 。現在我們僅將分配律應用於第二項（取a = 7、b = 1 且c = 1 。然後（僅關注第二項）我們有7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 。最後，我們可以將此表示式代入第二項，回到方程式中，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 。
這看起來像很多無意義的括號操作，但關鍵是分配律適用於任意長的和與積。同樣地，也成立
a · (b + c + d + e ) = a · b + a · c + a · d + a · e 或者我們可以把它寫得更長！我們可以有任意多個求和項；只要等式右邊每一項前面都有“a · ”，那麼這個等式就成立。我們將使用這個結論，而不進行證明（即不提供證明）。讓我們回憶一下這些性質告訴我們關於算術的什麼。交換律和結合律共同表明加法順序並不重要。讓我們看看為什麼。結合律指出 a + (b + c ) = (a + b ) + c a + b + c 的一個陳述。為什麼？因為通常加法只定義在兩個數之間，所以當有人寫下類似 a + b + c b 和 c 加在一起，然後再加上 a ，而其他人可能會先將 a 和 b 加在一起，然後再加上 c 。這個性質用公式說明，無論你採取哪種方式，結果都相同。那麼那些先將 a 和 c 加在一起的人呢？這就是交換律發揮作用的地方。它告訴我們，我們不必按照人們寫下順序加法。你可以改變順序，但結果還是一樣的。讓我們再舉一個使用這些性質來“調整括號”的例子，以說明交換律表明你可以先將 a 和 c 加在一起，結果還是一樣的。
b + c = c + b 這是應用於 b + c 的加法交換律
a + (b + c ) = a + (c + b )這是由代入得到的
a + (b + c ) = (a + c ) + b 這只是在上面行右側使用結合律。
交換律和結合律告訴我們，你對 a + b + c 的加法順序並不重要。無論順序如何，你都會得到相同的結果。即使有超過三個項，這個規則仍然適用：可能有 4 個，12 個，或者幾千個項。這些性質仍然告訴我們，加法順序並不重要。
乘法的相同性質告訴我們，乘法順序並不重要。我們可以隨意改變順序，只要對我們來說更方便。它真的能使問題更方便嗎？當然！例如，如果你被要求計算 4 · 3 · 5 · (1/4)，我會認為計算 4 · (1/4) · 3 · 5 會更方便。
單位 和 逆 性質真正體現了“加法和減法互為逆運算”以及“乘法和除法互為逆運算，只要我們不乘以 0”的含義。我們將其留作練習，讓感興趣的讀者思考為什麼是這樣。
你通常可以使用分配律來簡化表示式。這也是它如此重要的原因之一。例如，考慮表示式 2(x − 7) + 14 。如果我們對這個表示式中的第一項使用分配律會發生什麼？讓我們來計算一下。根據分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14 將它代入上面的表示式，我們得到 2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x 。顯然，2x 比 2(x − 7) + 14 容易求值得多！
除法不滿足交換律。這意味著通常 a ÷ b 不等於 b ÷ a，可以透過一個簡單的例子說明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
雖然除法本身不滿足交換律，但有兩種特殊情況，如果顛倒操作順序，答案（商）仍然相同。這兩種情況發生在商為 1 或商為 -1 時。
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代數中有一些基本定律。理解這些定律將幫助你操作和解方程，以及理解代數關係。
一般來說，專案的順序可以改變，不會影響結果。
對於加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}
對於乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX}
請注意，交換律不適用於減法或除法。
一般來說，專案的組合可以改變，不會影響結果。（似乎是交換律的延伸）。
對於加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
對於乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z}
與交換律一樣，結合律不適用於減法或除法。
表示公因子可以提取出來，或者因子可以分配。（A + B) X = (A X) + (B X)（右側的 “X” 項合併為左側的因子；左側的因子 “X” 分配到右側）。
考慮將 **X = (Y + Z)** 代入上述方程，得到 **(A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z)**。將分配律應用到右側的每一項，得到 **A Y + A Z + B Y + B Z**。如果我們乘以以下表達式中用 “F O I L” 表示的項，我們可以跳過中間步驟 **(A + B) (Y + Z) =**
字母
描述
項
F
首項
A Y +
O
外項
A Z +
I
內項
B Y +
L
末項
B Z
對於 **加法和減法**，單位律表示給定項或數量的加法 **和** 減法結果為零，0，加法和減法的單位元。或者，新增單位元不會改變原始值或數量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
將 A 加到第一個等式的兩邊，得到 **(A - A) + A = 0 + A**。重新排列或代入得到 **0 + A = A**
請注意特殊情況 **A = A + 0 = A + 0 + 0** 對於 **乘法和除法**，單位律表示給定項或數量的乘法 **和** 除法結果為 “一”，1，乘法和除法的單位元。或者，乘以或除以單位元不會改變原始值或數量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
請注意，將 1 除以項或數量會得到項或數量的倒數。乘以倒數與除以項或數量相同。在上面等式右側 **(Y / 1) 和 (1 / Y)** 互為倒數
請注意特殊情況 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=}
透過代入第一個特例方程來簡化它，得到 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} . . . 將第一個方程兩邊乘以“Y” ，得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} (Y) = (1) Y.
問題 2.54 （確定實數的性質）反例 。
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.} b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.} c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.} d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.} e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
問題 52 的可能答案
a. 有時為真。數字
-1 是一個整數，但它不是一個自然數。
b. 有時為真。數字 0 是一個自然數，但它不是一個自然數。c. 從不為真。整數包括所有負數和非分數的自然數。d. 總是為真。實數集部分包含自然數。
e. 有時為真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘積等於 1。
a. 有時為真。數字
-1 是一個整數，但它不是一個自然數。
b. 有時為真。數字 0 是一個自然數，但它不是一個自然數。c. 從不為真。整數包括所有負數和非分數的自然數。d. 總是為真。實數集部分包含自然數。
e. 有時為真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘積等於 1。
問題 2.55 （識別實數的性質）
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16} b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6} c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7} d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1} e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
問題 53 的答案
a. 分配律
b. 加法恆等式
e. 乘法結合律
a. 分配律
b. 加法恆等式
e. 乘法結合律
問題 2.56 (乘積模式)
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
問題 2.57 (高斯技巧)
問題 2.58 (操縱高斯技巧)問題 2.55 中使用的方法來求幾個數字的和。你能求出以下結果嗎？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201} b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200} c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000} d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
問題 2.59 (數字的倒數)加法逆元 相加，你會得到零。同樣，乘法逆元性質指出，如果你將一個數字乘以其倒數，即其乘法逆元 ，你會得到 1。求出以下數字的加法逆元和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6} b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}} c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33} d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
問題 2.60 (使用分配律)
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)} b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)} c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)} d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)} e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)} f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
問題 2.61 （含三項的分配律）
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
問題 2.62 （表示式改寫）
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
問題 2.63 （乘法和分配律）
問題 2.64 （和/差的平方） a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}} b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
問題 2.65 （棘手的乘積）
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}} b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}} c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)} d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)} e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
第 63 題答案
a. 10201
b. 9025
e. 5041
a. 10201
b. 9025
e. 5041
問題 2.66 (1001 的秘密)
問題 2.67 (ABCD) a − d {\displaystyle a-d} b + c {\displaystyle b+c}
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
第 64 題解答
從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上表達式改寫如下
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交換律，表示式可以改寫為
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，它可以進一步寫成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上表達式改寫如下
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交換律，表示式可以改寫為
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，它可以進一步寫成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 問題 2.68 (實數的稠密性)實數的稠密性 指出在任何兩個實數之間，都存在另一個實數。利用這個性質證明在 0 和 1 之間存在無窮多個實數。
第 60 題解答
讓我們在 0 和 1 之間選擇一個數，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後，我們可以選擇一個介於 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一個介於
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續這個過程，我們仍然會總是在我們選擇的任何兩個數之間找到一個數。因此，在 0 和 1 之間存在無窮多個實數。
讓我們在 0 和 1 之間選擇一個數，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後，我們可以選擇一個介於 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一個介於
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續這個過程，我們仍然會總是在我們選擇的任何兩個數之間找到一個數。因此，在 0 和 1 之間存在無窮多個實數。
閉包 是針對一組實數和一個運算定義的性質。這 維基百科文章 用數學各個領域中的例子描述了閉包性質。作為代數學生，瞭解閉包性質可以幫助你解決問題。例如，一個問題可能會說明“兩個整數的和為 24”。透過練習，你將能夠看到可能的數字集將是全部為奇數（例如 (1,23),(3,21)，... 等等）或全部為偶數（例如 (2,22), (4,20), ... 等等）。問題可能沒有明確說明整數的概念。它可能會說明一個正方形的兩條邊之和為 24。如果你記得之前做過類似的問題，你就知道正方形的邊需要相等，你需要除以 2。問題的作者可能會想更難一些，說一個等邊三角形的兩條邊之和為 24，然後要求你求三角形的周長。在這種情況下，你可能想寫方程 3 x = p {\displaystyle 3x=p}
問題 2.69 （運算的閉包）
加法
減法
乘法
除法
冪運算
開根
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
問題 2.70 （集合的閉包） { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}}
*
a
b
c
d
e
a b
c
e
a
d
b d
a
c
b
e
c c
d
b
e
a
d a
e
d
c
b
e e
b
a
d
c
該集合在乘法運算下是否閉包？
實數 a {\displaystyle a} 絕對值 （或模數 ），表示為 | a | {\displaystyle |a|} 始終取為非負數 。例如，左側的圖示顯示了以下內容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3} -5 的絕對值為 5，因為它距離零 5 個單位，3 的絕對值為 3，因為它距離零 3 個單位。正數或零的絕對值始終是它本身。相反，負數的絕對值是它的相反數。
同樣，數軸上兩個數之間的距離可以看作它們差的絕對值。
問題 2.71 （數字排序 I）
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}} 問題 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} 問題 2.72 （數字排序 II）問題 2.68 中數字的絕對值按以下順序排列：（a）從小到大 (b) 從大到小。
問題 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} 問題 2.73 （絕對值表示式）
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|} b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|} c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|} d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|} e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11} g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}} h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}} i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
問題 71 的答案
a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 問題 2.74 （絕對比率） x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}} 問題 2.75 （值域 I） 24 < x < 39 {\displaystyle 24<x<39}
| x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 問題 2.76 （值域 II） − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12}
| x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 問題 2.77 （值域 III） − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4}
| x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 問題 2.78 （最小可能的絕對值）n 是一個整數，以下表達式的最小可能值是多少？
| 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 問題 2.79 （三角不等式）
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此關係來確定邊長為 6、9 和 14 的三角形是否存在。b. 使用此關係來確定邊長為 5、10 和 15 的三角形是否存在。c. 除了幾何應用之外，上述不等式還表明兩個數字 a 和 b 之和的絕對值小於或等於 a 的絕對值與 b 的絕對值之和。 證明這個關係是正確的。
我們將在代數的大部分時間裡使用的所有數字都稱為實數。 它們由有理數和無理陣列成。 無理數是指具有無限不迴圈小數的數字，例如 pi。 有理數是指所有可以表示為整數分數的數字，包括自然數、整數、整數和有理數。 對於所有實數，加法和乘法都有一些性質：交換律、結合律、單位元、逆元和分配律。 分配律將對本課程的其餘部分有所幫助。
