數學證明/證明方法/反例

反例證明從技術上講不是一個證明。它僅僅是一種透過展示一個與普遍陳述相矛盾的例項，來表明一個給定陳述不可能是正確的。例如，如果你想證明“所有芝士蛋糕都是在阿拉斯加烘焙的”這個陳述，並且你不知道是應該用反證法還是反證法來證明它，我所要做的就是在這裡在德克薩斯州當著你的面烤一個芝士蛋糕，然後你就會知道你的努力是徒勞的。

考慮以下陳述

每個集合都是可數的。

當然，對這個陳述的反例將是從 $[0,1]\subset \mathbb {R}$ 區間。為了證明這個區間不可數，我們假設它是可數的，因此存在一個雙射函式 $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$，因為 $f$ 是雙射的，我們可以將 $[0,1]$ 的元素列出來，我們將 $[0,1]$ 中的數字以小數形式寫出來。

$f(1)=.b_{(1,1)}b_{(1,2)}b_{(1,3)}b_{(1,4)}\ldots$

$f(2)=.b_{(2,1)}b_{(2,2)}b_{(2,3)}b_{(2,4)}\ldots$

$f(3)=.b_{(3,1)}b_{(3,2)}b_{(3,3)}b_{(3,4)}\ldots$

$\vdots$

為了證明的目的，我們需要每個實數都被一個小數唯一地定義。當然，這在幾乎所有情況下都是正確的（例如，取 .01... 它等於 .00999999999...）。事實上，不正確的情況恰好是當小數以一系列零結尾或“終止”時（需要單獨證明，但現在接受它是真的）。因此，讓所有小數都以“非終止形式”出現，這樣小數展開式和實數之間就存在另一種雙射。

現在，如果$b_{(i,i)}$ 為奇數，則令$a_{i}=0$；如果$b_{(i,i)}$ 為偶數，則令$a_{i}=1$。現在，我斷言$x=.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\ldots$ 不在列表中。為了證明這一點，假設它在列表中，那麼對於某個$n\in \mathbb {Z} ,f(n)=.b_{(n,1)}b_{(b,2)}\ldots b_{(n,n)}\ldots$，但如果$b_{(n,n)}$ 為奇數，則$a_{n}=0$；如果$b_{(n,n)}$ 為偶數，則$a_{n}=1$，這是不可能的，所以我們得出結論：$.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\ldots$ 不在列表中，這表明我們可能沒有從$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ 的滿射。

雖然這是一個反例，但我們仍然需要證明它實際上是一個反例，並且在這樣做的過程中，我們使用了反證法（這是證明的總體方法），以及構造法（構造了$x=.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}$）。雖然對於任何給定的錯誤斷言可能存在不止一個反例，但你必須始終透過證明或論證來證明你的反例有效。