雖然附錄中包含一個完整的符號列表，但這主要是一個參考工具，用於提醒讀者符號的含義。本節旨在向讀者介紹符號並解釋其用法。
這不是對集合論的全面或嚴格定義。我們將定義最少的集合論物件，以便理解數學思維的概念。在這本書中，我們將使用大寫字母表示集合，使用小寫字母表示集合的元素。這種約定不是為了阻止創造力或讓你的襪子脫落，而是為了避免混淆。
公理 是假設或認為是正確的。這是數學證明的起點；你不能證明 公理，你只是相信它們並用它們來證明其他東西。公理集合有很多，最流行和最新的是Zermelo-Fraenkel 集合論 。我將在這裡列出一些公理，這些公理足以滿足本書的研究。
存在一個集合。（對於我們的目的，集合 是我們將稱為元素 的物件的集合。據說一個集合包含 它的元素，而元素被認為是包含在 集合中的。）
存在一個空集。該集合將被表示為 ∅ {\displaystyle \varnothing }
當且僅當兩個集合包含相同的元素時，它們是相等的。
如果 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 並集 。
如果 A {\displaystyle A} P ( x ) {\displaystyle P(x)} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} P ( x ) {\displaystyle P(x)}
存在計數數字的集合 ( 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle (1,2,3,\dots )} 其中一些表述比較正式，這是數學家的一種傾向。首先，讓我們解釋一下為什麼我們需要這些公理。
第一個公理說“存在一個集合”。所以你可能會問——我們不是知道它存在嗎？我們不能簡單地定義它存在嗎？答案是，可以，這就是為什麼它是公理。公理應該是自明的真理。既然我們已經確定集合存在，為什麼我們要一個沒有元素的集合呢？嗯，空集結果證明是一個非常有用而且非常令人討厭的集合。在學習這本課本的最後，你將學會與空整合為好朋友。
公理 3 可以被認為是一個定義，而不是一個公理，指的是我們說兩個集合相等時的含義。公理 4 只是說，如果我們有兩個集合，我們可以得到一個包含所有這些元素的新集合。例如，所有人的集合和所有狗的集合。
第五個公理可能是最令人困惑的。它只是說，如果我們有一個集合，並且我們想挑選出某些元素，我們可以做到。例如，從所有整數的集合中，我們可以選擇偶數、正數或完全平方 。
最後，無限公理很好，因為我們將使用無限集做很多事情。
如上所述，集合 將是一組元素 。例如，令 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
A
=
{
x
|
x
is a cheesecake
}
{\displaystyle A=\{x|x{\mbox{ is a cheesecake}}\}}
B
=
{
x
|
x
is chocolate
}
{\displaystyle B=\{x|x{\mbox{ is chocolate}}\}}
豎線 | 讀作“使得”。我們可以透過使用上面的公理 5 以這種方式選擇元素。對於 A {\displaystyle A} P ( x ) {\displaystyle P(x)}
P
(
x
)
:
x
is a cheesecake
{\displaystyle P(x)\ :\ x{\mbox{ is a cheesecake}}}
請注意，我們已經隱式地假設存在一個全集 ，包含我們進行選擇的所有元素。在上面的示例中，這個全集可以是所有糕點的集合。一般來說，如果全集未指定，我們將假設我們談論的是實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } C = { x | x > 2 } {\displaystyle C=\{x|x>2\}} C {\displaystyle C} 2 {\displaystyle 2}
說 x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} x ∈ A {\displaystyle x\in A} A ∋ x {\displaystyle A\ni x} x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} x ∉ A {\displaystyle x\notin A}
在公理 4 中定義了 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 並集 。它包含 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ∪ B {\displaystyle A\cup B}
A
∪
B
=
{
x
|
x
∈
A
or
x
∈
B
}
=
{
x
|
x
is a cheesecake or is chocolate
}
{\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}=\{x|x{\mbox{ is a cheesecake or is chocolate}}\}}
A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 交集 是包含所有同時屬於兩者 的元素的集合。它的符號是 A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
and
x
∈
B
}
=
{
x
|
x
is a chocolate cheesecake
}
{\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A{\mbox{ and }}x\in B\}=\{x|x{\mbox{ is a chocolate cheesecake}}\}}
如果 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 互斥 。這意味著這兩個集合沒有任何共同的元素。例如，如果 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
請注意，邏輯連線詞 ∨ , ∧ {\displaystyle \lor ,\land } ∪ , ∩ {\displaystyle \cup ,\cap }
A
∪
B
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
}
{\displaystyle A\cup B=\{x|(x\in A)\lor (x\in B)\}}
A
∩
B
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
}
{\displaystyle A\cap B=\{x|(x\in A)\land (x\in B)\}}
量詞用於確定當前正在討論哪些元素。它們就像英語中的形容詞——它們告訴我們我們正在談論的多少 或什麼型別 的東西。
最常見的量詞是對所有 。在數學中，它寫成 ∀ {\displaystyle \forall } H {\displaystyle H} E {\displaystyle E}
∀
x
∈
H
,
x
∈
E
{\displaystyle \forall x\in H,x\in E}
它讀作“對於所有屬於 x {\displaystyle x} H {\displaystyle H} x {\displaystyle x} E {\displaystyle E} H {\displaystyle H} E {\displaystyle E} H {\displaystyle H} E {\displaystyle E}
H
⊂
E
.
{\displaystyle H\subset E.}
這個符號， A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ≠ B {\displaystyle A\neq B} A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B}
這可能和“對於所有”一樣常見，而且同樣有用。它的數學符號是 ∃ {\displaystyle \exists } ∀ {\displaystyle \forall } ∃ {\displaystyle \exists }
∀
h
∈
H
,
∃
m
∈
M
such that
m
is the mother of
h
.
{\displaystyle \forall h\in H,\exists m\in M{\mbox{ such that }}m{\mbox{ is the mother of }}h.}
H
{\displaystyle H}
M
{\displaystyle M}
∀
h
,
∃
m
such that
m
is the mother of
h
.
{\displaystyle \forall h,\exists m{\mbox{ such that }}m{\mbox{ is the mother of }}h.}
這個量詞也讀作“存在”或“存在著”。為了表示只有一樣東西，我們說“存在唯一的……”並將感嘆號放在存在符號之後： ∃ ! {\displaystyle \exists !}
就像“非與”得到“或”一樣，“非對於所有”得到“存在”。也就是說，“所有芝士蛋糕都是巧克力”的相反是，“存在一個不是巧克力的芝士蛋糕”。用邏輯術語來說，
¬
(
∀
x
∈
A
,
P
(
x
)
)
is equivalent to
∃
x
∈
A
:
¬
P
(
x
)
.
{\displaystyle \lnot (\forall x\in A,P(x)){\mbox{ is equivalent to }}\exists x\in A:\lnot P(x).}
以上語句讀作“‘對於所有 A 中的 x，P(x) 為真’的否定是‘存在一個 A 中的 x，使得 P(x) 為假’”。
正如我們所見，“使得”至少可以在兩種情況下使用：與“存在”一起使用以及從集合中選取元素。當然，如果你仔細想想，這兩種情況實際上是相同的應用，因為“存在”語句給了你所有存在事物的集合，而“使得”語句則縮小了該集合的大小，只關注你感興趣的事物。“使得”通常用冒號 (:) 或豎線 (|) 表示，有時也用“s.t.” 表示。
這是一個非常有用的短語，可以使證明更加簡潔和減少冗餘。例如，假設我們有兩個整數 x 和 y ，並且我們知道其中一個是奇數，另一個是偶數。與其嘗試進行兩個不同的平行證明，一個假設 x 是偶數，y 是奇數，另一個假設 y 是偶數，x 是奇數，我們只需說“不失一般性，假設 x 是偶數”。然後我們繼續進行證明。之所以這樣做，是因為如果 y 實際上是偶數，那麼相同的論證也適用，我們只需重新標記 x 和 y 即可。
現在，我們不會開始討論天文學。在數學中，“宇宙”指的是你討論中最大的集合。例如，如果宇宙沒有限制，那麼所有事物的集合將真正是包含所有事物的集合。但是，如果你的宇宙是地球上所有事物的集合，那麼“所有事物的集合”將不包括木星，因為木星不在地球上。
在算術中，“差集”表示兩個數字之間的距離——它們在數軸上相隔多遠。在集合論中，“差集”的意思略有不同，但使用相同的符號。（ A − B {\displaystyle A-B} A 和 B 的差集。）差集是所有在 A 中但不在 B 中的事物的集合。
A
−
B
=
{
x
∈
A
|
x
∉
B
}
=
{
x
|
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
{\displaystyle A-B=\{x\in A|x\notin B\}=\{x|x\in A\land x\notin B\}}
在日常英語中，我們會在說“所有沒有過失的人在本課程中都得 A”這類話時使用這個概念。
一個包含 A、B 和 U 的韋恩圖。 一個集合的 補集 包含所有不在原集合中的元素。這個定義只有在理解宇宙的時候才有意義。補集通常用 A c {\displaystyle A^{c}} U 是宇宙，那麼 A 的補集定義為 A c = U − A {\displaystyle A^{c}=U-A}
右側的圖是一個 韋恩圖 。韋恩圖顯示了集合之間的關係。注意，在圖中，U 是宇宙，A 和 B 是 U 中的集合。藍色部分是 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} A 和 B 中是否有元素。如果 A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
一個集合的補集本質上與一個語句的否定相同。也就是說，
if
A
=
{
x
|
P
(
x
)
}
{\displaystyle A=\{x|P(x)\}}
A
c
=
{
x
|
¬
P
(
x
)
}
{\displaystyle A^{c}=\{x|\lnot P(x)\}}
因此，補集用於說明某事物不是什麼。
用集合表示以下語句，使用差集或補集。所有有兩條腿的人。
所有不是希臘的神話生物。
所有上面沒有奶油的布丁餡餅。
畫一個韋恩圖來說明以下內容。 A ∩ B ∩ C {\displaystyle A\cap B\cap C} A ∪ B − C {\displaystyle A\cup B-C} ( A c ∩ B c ) ∪ C {\displaystyle (A^{c}\cap B^{c})\cup C} A ∩ ( B ∪ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)} A − ( U − B ) {\displaystyle A-(U-B)}
對以下語句進行否定。 ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ B : P ( x , y ) {\displaystyle \forall x\in A,\exists y\in B:P(x,y)} 並非所有快速、棕色的狐狸都跳過一些懶惰的狗。 
