代數/第二章/實數/“為什麼”問題的答案

每個答案值 0-5 分。

11. 取兩個有理數 ${\frac {a}{b}}$ 和 ${\frac {c}{d}}$，這兩個數的乘積是 ${\frac {ac}{bd}}$，它仍然是有理數（記住，有理數是可以表示為兩個數的比率的數）。這是一個有理數的封閉性質的例子。

13. ${\sqrt {2}}$ 是無理數，但是，${\sqrt {2}}{\sqrt {2}}=2$ 是一個整數。

15. 考慮兩個數字 $1+{\sqrt {2}}$ 和 $1-{\sqrt {2}}$，這兩個數字都是無理數，但是當你把它們加在一起時，無理數部分“抵消”了，你只剩下一個有理數部分。換句話說，因為你總是可以將一個數字與其負數相加得到 0（我們認為它是合理的），所以你總是可以從一個無理數中得到一個有理數。

17. 因為如果 $x$ 是無理數，但 ${\sqrt {x}}$ 等於 $a/b$，對於某些整數 $a$ 和 $b$，那麼 $x$ 將等於有理數 $a^{2}/b^{2}$，這與 $x$ 是無理數的事實相矛盾。

19. 兩個有理數的乘積是有理數（見第一個挑戰問題），類似地，兩個有理數的和也是有理數。如果 $x$ 是有理數，那麼 $x+1$ 是有理數，那麼 $x(x+1)$ 也必須是有理數。因此，$x$ 必須是無理數。

將這些答案的測驗分數加到你的分數中，以確定你的最終分數。