代數/代數基本定理

對於任何具有復係數的非常數多項式，都至少存在一個復根。

此外，它的次數也是其根的數量（含重根）。

證明

設有一個非常數多項式

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\quad (a_{n}\neq 0)$

那麼我們有 $\lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty$. 由於函式 $|p(z)|$ 是連續的，所以存在一個 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 使得 $|p(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|p(z)|$.

讓我們寫 $p(z)=p(z_{0})+(z-z_{0})^{m}q(z)$，對於 $m\in \mathbb {N}$ 和一個多項式 $q(z)$ 使得 $q(z_{0})\neq 0$.

設 ${\overline {p(z_{0})}}$ 是 $p(z_{0})$ 的複共軛。 那麼對於所有 $z\in \mathbb {C}$ 我們得到

${\begin{aligned}&|p(z_{0})|^{2}\leq |p(z)|^{2}=|p(z_{0})|^{2}+|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\\[5pt]&|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

令 $z=z_{0}+re^{\theta i}$ 其中 $r>0$

${\begin{aligned}&r^{2m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}\,r^{m}e^{m\theta i}q(z_{0}+re^{\theta i})\,\right]\geq 0\\[5pt]&r^{m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0}+re^{\theta i})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

當 $r\to 0^{+}$ 時取極限，得到

${\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0$

令 $c={\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})$ 且 $\omega ={\text{cis}}\!\left({\frac {\pi }{2m}}\right)$.

將 $e^{\theta i}=1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}$ 代入不等式，根據棣莫弗定理，我們得到

${\begin{aligned}&{\text{Re}}(\pm c)=\pm \,{\text{Re}}(c)\geq 0\\&{\text{Re}}(\pm ci)=\mp \,{\text{Im}}(c)\geq 0\end{aligned}}$

因此 ${\text{Re}}(c)={\text{Im}}(c)=0$，所以 ${\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})=0$.

因此，根據 $q(z_{0})\neq 0$，我們得到 ${\overline {p(z_{0})}}=p(z_{0})=0$.

$\blacksquare$

參考資料和作者

• McDougal 代數2
• Holt 代數2
• Lial, Hornspy, Schenider 預備微積分
• Alvin Ling（初稿）