代數/多項式

代數

代數
← 其他型別的圖	多項式	多項式因式分解 →

透過練習，線性函式的斜率概念變得直觀。可以理解，適合方程 $y=2x$ 的直線比適合方程 $y=1/2x$ 的直線上升得更陡峭。您只需水平移動一個單位，即可在繪製 $y=2x$ 時將您的垂直方向更改兩次。對於直線 $y=1/2x$ ，您需要水平移動多少個方塊才能將您的垂直方向更改一個單位？

當我們表達像 $y=x^{2}$ 這樣的抽象行為時，所代表內容的抽象行為變得難以理解。

一個單項式，例如，x，是一個形式為

cx^{m}\

其中

$c$ 是一個常數，並且
$m$ 是一個非負整數（例如，0、1、2、3、…）。

整數 $m$ 被稱為單項式的次數。

零次單項式的概念看起來有點神秘，因為它總是代表 1，除非變數的值被設定為零，此時結果是未定義的。這個想法使我們能夠保留單項式中常數的值。我們知道 $cx^{0}$ 總是等於 $c$ ，因為即使我們有 0 個 x（事物），我們仍然有 c。當 x = 0 時，事情變得困難，因為我們開始的值 0 代表的是什麼都沒有。

對於一個一次方單項式，我們用變數的一個例項來乘以 C。當 $x=0$ 時，我們得到 $c*0=0$ 。當 $x\neq 0$ 時，我們用 1 個 x 乘以 c。如果 x 小於 1，則 c 變小；如果 x 大於 1，則 c 變大。當 x 在 0 到 -1 之間時，c 變小得更慢；當 x 小於 -1 時，c 變小得更快。

一個二次單項式是指對 x 的值“平方”的單項式。平方這個詞的來源是，使用一次乘法運算可以讓我們測量面積。如果你有一個每邊都是一個單位的物體，這被稱為一個平方單位。如果你將正方形單位的兩邊都分成一半，你會得到 4 個四分之一單位。我們用數學來表示這一點，方法是執行乘法運算 $1/2*1/2=1/4$ 。對某事物進行平方是一個非直觀的運算，直到你熟悉了函式的圖形。我們可以用一個數學家的故事來解釋這一點。這個數學家被他的國王許諾了一個獎勵。這位數學家說他想要一粒小麥，每天平方 30 天。在頭七天，國王的僕人向數學家送了 1、2、4、16、256、65,536 顆小麥。第七天，這個值是 4,294,967,296（在計算機術語中是 4G）…有時這個故事以國王重新談判而告終，有時這個故事以國王處決數學家來保衛他的王國而告終，有時國王足夠精明而不接受這個交易。

一個三次單項式是將 x 的值“立方”的單項式。這是因為我們使用運算 x*x*x 來測量給定面積 x*x 所佔據的體積。如果你有一個每邊都是 1 個單位的立方體，並將每邊切成一半，你會發現你創造了 8 個立方體。如果數學家要求將單粒小麥立方，那麼僕人就會交付 1、8、512、 $134\times 10^{6}$ 、 $242\times 10^{22}$ 粒小麥，國王的交易將需要提前兩天重新協商。

多項式

一個關於單個變數 x 的多項式，是一個代數表示式，它是若干個單項式的和。多項式的次數是和中單項式的最高次數。一個多項式 $P(x)$ 可以一般性地表示為以下形式

P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{i}x^{i}+...a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\

或

\ P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

常數 a_i 稱為多項式的係數。

上述和中每個係數 a_i ≠ 0 的單個單項式被稱為多項式的項。當 i = 0 時，xⁱ = 1，相應的項僅僅等於常數 a_i。同樣，當 i = 1 時，相應的項等於 a_i x。

有兩個項的多項式稱為二項式。具有三個項的多項式稱為三項式。

多項式方程

我們把所有隻有一個自變數的函式都稱為 $P(x)$ 。每個 $P(x)$ 的例項都可以用一個方程（單項式或多項式）來表示，這個方程可能在一個或多個地方使因變數等於零。這些地方被稱為根，它們代表使函式 $P(x)=0$ 成立的 x 的值。這些根被稱為多項式的零點（單數為零點）。

一個一次多項式，當你把它畫出來時，總看起來像一條直線，並且總是有一個實數零點。一個二次函式，二次多項式，可以有 0、1 或 2 個實數零點。一個三次函式，三次多項式，可以有 1 或 3 個實數零點。一個四次多項式可以有 0、2 或 4 個實數零點。複數（非實數）零點，如果存在，總是成對出現。一般來說，一個 n 次多項式，其中 n 是奇數，可以有 1 到 n 個實數零點。一個 n 次多項式，其中 n 是偶數，可以有 0 到 n 個實數零點。

當我們繪製多項式圖時，每個零點都是多項式與 x 軸交叉的地方。一個一次多項式可以一般性地寫成 $P(x)=Mx+C$ ，其中 M 和 C 可以是任何實數。我們會看到，二次函式是曲線。曲線可以在它接觸 X 軸之前彎曲，在這種情況下它沒有零點。曲線可以在它接觸 X 軸時彎曲，在這種情況下它只有一個零點。或者它可以在 X 軸上方或下方開啟，在這種情況下它將有兩個零點。如果你仔細想想，你會發現次數為奇數（1、3、5 ...）的多項式必須是正數和負數，所以它們必須至少與 X 軸交叉一次。次數為偶數（2、4、6 ...）的多項式可能總是正數或負數，並且從不具有零點。

通常我們以 $P(x)=y$ 的形式來表示一個函式，但當我們尋找函式的根時，我們希望 y 等於零，所以我們解方程 $P(x)$ ，其中 $P(x)=0$

階數	名稱	凸起數量	應用領域
1	一次	無凸起 - 直線	直線方程
2	二次	一個凸起	涉及面積和振動
3	三次	兩個凸起	涉及體積
4	四次	三個凸起	一些物理方程（融化的冰）
n (5+)		n-1 個凸起	非常罕見

解多項式方程

一些多項式方程可以透過因式分解求解，所有 1-4 次方程都可以透過公式完全求解。高於 4 次方程，沒有完全求解的公式，你必須依靠數值分析或因式分解。這意味著對於大於 4 次的多項式，通常不可能找到精確解。

多項式方程的有理根

通常我們對多項式有理根感興趣。根就像數字的因子。例如，所有偶數都有因子 2。這意味著你可以將偶數寫成 2 乘以另一個數字。也就是說數字 2、4、6、8... 可以寫成 2*1、2*2、2*3、2*4... 。這個事實在你遇到兩個偶數的商時很有用。給定兩個偶數的商，稱為 N 和 M $N/M$ ，你可以透過將它重新寫成 $2n/2m$ 來約簡分數。透過將分數保持在最簡形式，更容易知道何時可以新增或減去它們，而無需尋找公分母。

多項式方程應用的示例

有一個故事說，在小學時，數學家高斯被要求依次加 1 到 100 的數字。據說他直覺地意識到這個和可以用公式 n(n+1)/2 表示，並迅速給出了答案 5050。這個公式的基礎是 1 到 49 的數字加 99 到 51 的數字，每個都得到 100。有趣的是看看這個公式如何適用於 9 和 10 的值。對於 10，我們將 1+9、2+ 8、3+ 7、4+ 6 的數字加起來得到 40，然後將剩餘的兩個項 5 和 10 加起來得到 55。對於 9，我們將 1 + 8、2 + 7、3 + 6、4+ 5 的項加起來得到 4*9 = 36 + 9 = 45。在第一種情況下，n + 1 是奇數，表示新增 10 和中間數字 5。在第二種情況下，n 是奇數，而 n+1 表示公式中前面項的和。你可能會或可能不會發現像這樣的故事很有趣，這取決於你的個性如何對所謂的數學基礎危機做出反應。學習數學很像學習一門外語。有些人似乎比其他人更擅長學習語言，但透過努力工作，我們所有人都可以學習一門新的語言。

將多項式相乘

當我們將多項式相乘時，我們高度依賴分配律。

例如，當我們將 67 乘以 5 時，我們可以將方程分成 (60 + 7)*5 = (300 + 35) = 335。此外，我們可以應用交換律來乘以多位數。67*25 = (60 + 7)(20 + 5) = ((60 + 7)*20) + ((60 + 7) *5) = (60*20) + (7*20) + (60*5) + (7*5) = 1200 + 140 + 300 + 35 = 1675。這些屬性是機械計算工具算盤不同形式的基礎。

當將多項式相乘時，我們進行類似的操作。我們使用交換律將乘數分解成其組成部分，並將被乘數乘以每個組成部分。例如，要將 $x^{2}+x$ 乘以 $x+1$ ，我們首先將被乘數和乘數寫成 x 的冪的形式。這給了我們 $x^{2}+x+0x^{0}$ 和 $x+1x^{0}$ 。零次冪項代表方程中的常數整數項。接下來，我們應用交換律將方程重寫為 $[(x^{2}+x+0x^{0})*1x^{1}]+[(x^{2}+x+0x^{0})*1x^{0}]$ 。我們將這些方程簡化為 $[x^{3}+x^{2}+0x^{1}]+[x^{2}+x+0x^{0}]$ （注意我們的整數項如何被消去）。最後，我們將同類項組合起來得到答案 x^3 + 2x^2 + x +0x^0。讓我們在更熟悉的乘法豎式格式中重複一遍。

         1x^2 + 1x^1 + 0x^0
*               1x^1 + 1x^0
--------------------------
         1x^2 + 1x^1 + 0x^0
+ 1x^3 + 1x^2 + 0x^1
--------------------------
= 1x^3 + 2x^2 + 1x^1 + 0x^0 = x^3 + 2x^2 + x

透過將多項式分解成它的項

如果我們有一個多項式 P(x)

P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{i}x^{i}+...a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\

唯一可能的有理根（形如 p/q 的根）是形如

{\frac {p}{q}}={\frac {{\mbox{factor}}\ {\mbox{of}}\ a_{0}}{{\mbox{factor}}\ {\mbox{of}}\ a_{n}}}

（也稱為有理根定理或RRT）

二項式

二項式是兩個單項式的和或差。它們也可以稱為多項式，但為了更具體，這些是二項式。

例子

2x + 2

2y - 7

如何分解因式

要分解二項式，找到各項之間的最大公因數，並將其分解出來。

例子

4x + 2

這兩項之間的最大公因數是 2，因為這兩項都可以被 2 整除，並且係數和常數仍然是整數。分解後的例子將變成

2(2x+1)

外部連結

線上互動式多項式練習.