代數

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公式

計算多項式的因子需要了解不同的公式，並且需要一些經驗才能找出應該應用哪一個公式。下面，我們給出一些重要的公式

${x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

${x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}}$

${x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}}$

${x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

${x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)}$

例子

: ${a^{2}+ab}$ 
: ${a(a+b)}$

${x^{2}+3x+2}$
${x^{2}+y^{2}=2xy}$
${x(x+1)+2(x+1)}$
${(x+1)(x+2)}$

: ${a^{2}-4x^{2}}$ 
: ${(a^{2}-2ax)+(2ax-4x^{2})}$ 
: ${a(a-2x)+2x(a-2x)}$ 
: ${(a-2x)(a+2x)}$

${x^{3}+8y^{3}}$
${(x^{3}-2x^{2}y+4xy^{2})+(2x^{2}y-4xy^{2}+8y^{3})}$
${x(x^{2}-2xy+4y^{2})+2y(x^{2}-2xy+4y^{2})}$
${(x^{2}-2xy+4y^{2})(x+2y)}$
${(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})}$

: ${x^{3}+2x^{2}-13x+10}$ 
: ${(x^{3}+4x^{2}-5x)-(2x^{2}+8x-10)}$ 
: ${x(x^{2}+4x-5)-2(x^{2}+4x-5)}$ 
: ${(x^{2}+4x-5)(x-2)}$ 
: ${(x-2)(x^{2}+4x-5)}$ 
: ${(x-2)[(x^{2}-x)+(5x-5)]}$ 
: ${(x-2)[x(x-1)+5(x-1)]}$ 
: ${(x-2)(x-1)(x+5)}$

${3x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-x-1}$
${(3x^{4}-3x^{3}-3x^{2})+(x^{2}-x-1)}$
${3x^{2}(x^{2}-x-1)+1(x^{2}-x-1)}$
${(x^{2}-x-1)(3x^{2}+1)}$

: ${x^{4}+4}$ 
: ${(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}}$ 
: ${(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}}$ 
: ${(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)}$

(定理名稱)

寫出係數，如果最後的結果等於零，那麼它就是一個根

例如： ${9x^{2}-6x+9}$

${4r^{2}-12+9^{2}}$

可能的因數

為了分解，我們首先要尋找可能的因數。可能的因數是任何可能成為因數的數字。一旦我們有了可能的因數，我們就把這個數字除以我們要分解的數字。如果它們能被整除，那麼我們就找到了一個因數！這個因數就是我們找到的可能的因數，而除法問題的結果就是另一個因數。舉個例子。假設我們要分解的數字是 20。2 是可能的因數。20 / 2 = 10。它們能被整除，這意味著我們找到了一個因數。因數是 2（可能的因數）和 10（除法問題的結果）。現在我們已經找到了一個因數，我們可以用一個新的可能的因數重新開始，找出所有的因數。

例子

分解 12

首先找到所有可能的因數

可能的因數是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 和 12

接下來我們將逐個嘗試它們

12/1 = 12（1 和 12 是因數）

12/2 = 6（2 和 6 是因數）

12/3 = 4（3 和 4 是因數）

12/4 = 3（我們已經有了 3 和 4 作為因數）

一旦我們得到一個已經存在的因數，我們就知道了所有因數。

所以 12 的因數是 1、2、3、4、6 和 12。

分解 54

首先找到所有可能的因數

可能的因數是 {1、2、3 ... 52、53、54}

別擔心，這並不像看起來那麼難!

54/1 = 54（1 和 54 是因數）

54/2 = 27（2 和 27 是因數）

54/3 = 18（3 和 18 是因數）

54/4 = 13r2（4 不是因數）

54/5 = 10r4（5 不是因數）

54/6 = 9（6 和 9 是因數）

54/7 = 7r5（7 不是因數）

54/8 = 6r6（8 不是因數）

54/9 = 6（我們已經有了 9 和 6 作為因數）

所以 54 的因數是 1、2、3、6、9、18、27 和 54

分解 180

首先找到所有可能的因數

可能的因數是 {1、2、3 ... 178、179、180}

別擔心，這並不像看起來那麼難!

180/1 = 180（1 和 180 是因數）

180/2 = 90（2 和 90 是因數）

180/3 = 60（3 和 60 是因數）

180/4 = 45（4 和 45 是因數）

180/5 = 36（5 和 36 是因數）

180/6 = 30（6 和 30 是因數）

180/7 = 25r5（7 不是因數）

180/8 = 22r4（8 不是因數）

180/9 = 20（9 和 20 是因數）

180/10 = 18（10 和 18 是因數）

180/11 = 16r4（11 不是因數）

180/12 = 15（12 和 15 是因數）

180/13 = 13r11（13 不是因數）

180/14 = 12r12（14 不是因數）

180/15 = 12（我們已經有了 15 和 12 作為因數）

所以 180 的因數是 1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90 和 180。

多項式除法

因式分解的過程需要進行多項式除法。這種除法與長除法非常類似，被稱為*綜合除法*。

考慮多項式 x³ - 21x² + 143x - 315。在這種情況下，確定因式可能需要試錯（直到你學習了其他技術），當你這樣做時，你需要用發現的因式來除多項式。

在這個例子中，我們將用 (x-5) 除。完整的除法從這裡開始

1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315

與長除法一樣，你需要找到用於減法的數字並將其放在頂部 - 在這種情況下，你需要確保最左邊的項變為零。接下來，將新新增的頂端項乘以左側以獲得要減去的量，並進行減法。

                1x^2
1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315
        1x^3   -5x^2
        ------------
              -16x^2 +143x - 315

重複此操作，直到除法完成

                1x^2  -16x + 63
1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315
        1x^3   -5x^2
        ------------
              -16x^2 +143x - 315
              -16x^2 + 80x
              -------------
                       63x - 315
                       63x - 315
                       ---------
                               0

（如果此時存在餘數，則將其作為分子放在被分解出的項之上。）

有些人可能會發現寫下 x³ 和其他變數很麻煩 - 如果在紙上寫，它們可以作為簡寫省略。

           1  -16 + 63
1 -5 | 1 -21 +143 - 315
       1  -5
       -----
         -16 +143 - 315
         -16 + 80
         ---------
               63 - 315
               63 - 315
               --------
                      0

在這種情況下，因式分解很簡單，因為你可以很容易地確定下一步除法中要使用的數字。

另請參閱

多項式因式分解 - 使用示例