代數/配方

代數

推導

"配方"的目的是將一個素二次方程進行因式分解，或者更方便地繪製拋物線圖。對於一個二次方程，遵循以下步驟$y=ax^{2}+bx+c$

1. 將等式兩邊都除以a，使$x^{2}$前面的係數是一個完全平方（1）

${\frac {y}{a}}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}$

2. 現在我們要關注x前面的項。在等式兩邊都加上$\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$

3. 現在注意到右側的前三項可以分解成一個完全平方

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

將這個式子重新展開，以驗證它是否有效。

4. 因此，二次方程的配方形式為

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$ 或者，等式兩邊都乘以a，

$y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

推導解釋

配方

1. 將等式兩邊都除以a，使$x^{2}$前面的係數是一個完全平方（1）

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}={a}$

將最終結果表示為一個平方 x，如果初始方程是

2. 現在我們要關注x前面的項。在等式兩邊都加上$\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$

3. 現在注意到右側的前三項可以分解成一個完全平方

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

將這個式子重新展開，以驗證它是否有效。

4. 因此，二次方程的配方形式為

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$ 或者，等式兩邊都乘以a，

例子

學習配方的最好方法是透過一個例子。假設你要解下面的方程，求 x。

2x2 + 24x + 23 = 0	不能輕易進行因式分解，所以我們進行配方。
x2 + 12x + 23/2 = 0	將 x2 的係數變為 1，方法是將所有項都除以 2。
x2 + 12x = - 23/2	在等式兩邊都加上 - 23/2。
x2 + 12x + 36 = - 23/2 + 36	取 12（x 的係數）的一半，然後平方。將其加到等式兩邊。
(x + 6)2 = 49/2	進行因式分解。現在我們可以開方，很容易地解出這種形式的方程。
√(x + 6)2 = √49/√2	開方。
x + 6 = 7/√2	化簡。
x = -6 + (7√2)/2	將分母有理化。