代數/二次方程

代數

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推導

一般形式的二次函式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的解可以用一個簡單的方程表示，叫做二次方程。為了解這個方程，請回憶上一節中推導的二次方程的完全平方形式

y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}

在這種情況下， $y=0$ ，因為我們正在尋找這個函式的根。為了解決，首先減去 c 併除以 a

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}

對兩邊開方（正負）

x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}

從兩邊減去 ${\frac {b}{2a}}$

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}

這是解，但它形式不方便。讓我們對根號內的分母進行有理化

{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2|a|}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}

現在，將分數相加，二次公式的最終版本是

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

這個公式非常有用，建議學生儘快記住它。

根號下的部分， ${b^{2}-4ac}$ ，稱為判別式， $\Delta$ 。判別式的值告訴我們關於根的一些有用資訊。