代數/解方程

代數

二次方程

到目前為止，您只處理了只包含 x 的方程式和表示式；在本節中，我們將繼續解決包含 $x^{2}$ 的項。

所有二次方程都可以排列成 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ 的形式，其中 *a*、*b*、*c* 都是常數。現在讓我們看一些例子

例子： 將以下方程改寫成 $ax^{2}+bx+c=0\qquad$ 的形式

$(1)\qquad x(x-3)=3-5x;\qquad$

(1) 的解：

$x^{2}-3x=3-5x\qquad$

$x^{2}+2x=3\qquad$

$x^{2}+2x-3=0\qquad$

注意，在第一步中，您將方程左側的 x 分配。第二步是透過在方程的兩邊都加上 5x 並隨後在方程的兩邊都減去 3 來得到的。

$(2)\qquad 2x+1=(x^{2}+2){\sqrt {3}}$

(2) 的解：

${\begin{matrix}2x+1&=&x^{2}{\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}\\-x^{2}{\sqrt {3}}+2x+1-2{\sqrt {3}}&=&0\\x^{2}{\sqrt {3}}-2x-1+2{\sqrt {3}}&=&0\end{matrix}}$

注意，在最後一步中，兩邊都乘以 -1，使項 $-x^{2}{\sqrt {3}}$ 為正數，以便更容易求解方程。

因式分解

因式分解是解二次方程最常用的方法。讓我們再次考慮上面第一個例子：$x(x-3)=3-5x$ 我們已經將方程簡化為

$x^{2}+2x-3=0$

現在，我們想要分解這個方程——也就是說，把它轉換成如下形式

$(x+''{\text{something}}'')(x+''{\text{something else}}'')=0$

觀察數字項 c。在這個例子中，它是 -3。現在，如果我們幸運的話，數字“某物”和“其他某物”將是好的整數，所以讓我們考慮兩個相乘後得到 -3 的數字。要麼是 3 和 -1，要麼是 -3 和 1。但我們還需要使 x 項正確（這裡，b=2）。實際上，我們需要 c 的兩個因數加起來得到 b。並且 (3) + (-1) = 2。所以，我們找到了我們的“某物”：它們是 3 和 -1。讓我們把它們填進去。

$(x+3)(x-1)=0$

為了檢查，我們可以將括號展開，以檢查我們是否得到了最初的式子。

${\begin{matrix}(x+3)(x-1)=0\\x^{2}+3x-1x-3=0\\x^{2}+2x-3=0\end{matrix}}$

現在，我們知道在一個等式中，左側總是等於右側。在這種情況下，等式的右側為 0，因此我們可以得出結論，項 $(x+3)(x-1)$ 也必須等於零。這意味著要麼 $(x+3)$ 或 $(x-1)$ 必須等於零。（不相信嗎？記住 (x+3) 和 (x-1) 只是數字。你能找到兩個非零數字相乘得到零嗎？）

讓我們用代數方式寫出來。

${\begin{matrix}x^{2}+2x-3=0\\x+3=0\qquad {\mbox{or}}\qquad x-1=0\\x=-3\qquad {\mbox{or}}\qquad x=1\end{matrix}}$

因此，同一個等式有兩個不同的解！對於所有二次方程都是如此。我們說這個二次方程有兩個不同的實根。

隨著練習，你通常能夠立即寫出因式分解形式的等式。以下是一個例子，在這種情況下，x 可以輕鬆地因式分解出來。

${\begin{matrix}2x^{2}&=9x\\2x^{2}-9x&=0\\x(2x-9)&=0\\x=0&\qquad {\mbox{or}}\qquad x={\frac {9}{2}}\end{matrix}}$

配方

有時二次方程的根（解）無法透過因式分解輕鬆得到。在這種情況下，我們必須透過配方或使用二次公式（見下文）來解方程。

為了配方，我們需要將給定的方程改寫為 $(x+a)^{2}=b$ 形式。以下是一個例子。

${\begin{matrix}x^{2}+8x+9&=&0\\x^{2}+8x&=&-9\\x^{2}+8x+4^{2}&=&4^{2}-9\\(x+4)^{2}&=&7\\&x+4={\sqrt {7}}&\quad {\mbox{or}}\quad x+4=-{\sqrt {7}}\\&x=-4+{\sqrt {7}}&\quad {\mbox{or}}\quad x=-4-{\sqrt {7}}\\&x=-1.35&\quad {\mbox{or}}\quad x=-6.65\end{matrix}}$

一般來說，我們可以得到

$x^{2}+kx+\left({k \over 2}\right)^{2}=\left(x+{k \over 2}\right)^{2}$

注意，當我們進行到方程式兩邊開根號時，左側可能為負數。在這種情況下，根將為複數。如果您尚未學習複數，則可以簡單地說方程式“沒有實數根”。

一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式是對配方求解的特殊推廣，透過簡單的代入即可得到一元二次方程的兩個根。它可以用來求解任何一元二次方程，並且在計算器上操作起來非常快。

$ax^{2}+bx=-c\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$

配方求解

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

簡化

等於 4y 的 19 次方。

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {-c}{a}}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {-4ac}{4a^{2}}}}}$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

這是二次方程公式的所需形式。

因此，假設二次方程的形式為 $ax^{2}+bx+c=0$，則這兩個根為

$x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}$

方程中的量 ${b^{2}-4ac}$，被稱為判別式，是解的解性和性質的指示

• 判別式為正——在R上可解，實根
• 判別式為零——在R上可解，重複的實根（單根）
• 判別式為負——在R上不可解（但在C上可解），沒有實根

韋達定理

如果二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ 有兩個實根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，那麼

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}&=&-{\cfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&=&{\cfrac {c}{a}}\end{matrix}}\right.$

這是因為 $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 以及 $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$。透過簡單地將這兩個根相加或相乘，我們將得到上述兩個等式。這就是韋達定理。

利用韋達定理，我們可以不求解方程，就能找到給定二次方程的另一個根。

例：已知方程 $4x^{2}-13x+10=0$ 的一個實根是 2，求另一個根，不用求解方程。

解

${\begin{matrix}x_{1}\cdot x_{2}&=&{\cfrac {c}{a}}\\\Rightarrow x_{1}\cdot 2&=&{\cfrac {10}{4}}\\x_{1}&=&{\cfrac {5}{4}}\end{matrix}}$

我們也可以透過應用以下規則來確定兩個根的符號

1. 如果$\Delta \geq 0,\ {\frac {c}{a}}>0,\ {\mbox{and}}\ {\frac {b}{a}}<0$，則方程有兩個正根；
2. 如果$\Delta \geq 0,\ {\frac {c}{a}}>0,\ {\mbox{and}}\ {\frac {b}{a}}>0$，則方程有兩個負根；
3. 如果$\ {\frac {c}{a}}<0$，則方程有兩個符號不同的根

($\Delta$ 表示方程的判別式）

另一個涉及韋達定理的問題

示例： 對於方程 $2x^{2}+ax+1=0$，已知根的平方和為$7{\frac {1}{4}}$，求$a$的值。

解

${\begin{matrix}(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\\\left(-{\cfrac {a}{2}}\right)^{2}-2\cdot {\cfrac {1}{2}}&=&7{\cfrac {1}{4}}\\{\cfrac {a^{2}}{4}}&=&8{\cfrac {1}{4}}\\a^{2}&=&33\\a&=&\pm {\sqrt {33}}\end{matrix}}$

勾股定理 ____________________

a^+b^=c^

聯立一次方程和非線性方程

在之前的章節中，你已經學習瞭如何解聯立一次方程組。現在我們將學習如何用兩個未知數解聯立一次方程和非線性方程組。這通常使用**代入法**。

**示例：**解以下聯立方程組

$\left\{{\begin{matrix}2x^{2}+y^{2}-5xy&=8&{\mbox{------ (1)}}\\y-x&=2&{\mbox{------ (2)}}\end{matrix}}\right.$

解

${\begin{matrix}{\mbox{Rearrange (2):}}&y=x+2&{\mbox{------ (3)}}\\{\mbox{Substitute(3) into (1):}}&2x^{2}+(x+2)^{2}-5x(x+2)=8\\&2x^{2}+x^{2}+4x+4-5x^{2}-10x-8=0\\&x^{2}+3x+2=0\\&(x+2)(x+1)=0\\&x=-2\quad {\mbox{or}}\quad -1\\{\mbox{Substitute x=-2 back into (3):}}&y=-2+2=0\\{\mbox{Substitute x=-1 back into (3):}}&y=-1+2=1\end{matrix}}$

∴ x=-1 且 y=1，或 x=-2 且 y=0。