代數幾何/引言

代數幾何 : 引言

什麼是代數幾何？

代數幾何是數學的一個分支，它將抽象代數與幾何結合起來 - 更確切地說；它是用幾何工具研究代數物件。它可以被視為線性代數（“多元線性方程組”）和代數（“一元多項式方程的研究”（雖然不完全是））的結合。也許另一個描述是，代數幾何是多項式函式及其定義這些多項式函式的空間（稱為代數簇）的研究。

因此，代數幾何的起點是對多項式方程組的解的研究

$f_{i}(X_{1},X_{2},...,X_{n})=0,i=1,2,...,m,f_{i}\in k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$

多項式方程的定理取決於域$k$是否代數封閉，以及$k$是否具有特徵 0。

例如，設$k=\mathbb {Q}$且$f(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{n}+X_{2}^{n}-X_{3}^{n}$。這就是費馬大定理 - 並且如果$n\geq 3$，那麼該問題只有平凡解。

我們可以對這個多項式方程組提出哪些問題？在許多情況下，不可能明確地列出所有解（記住，如果單一多項式方程的次數大於 4，則通常無法完全求解 - 見阿貝爾-魯菲尼定理） - 所以大多數研究都致力於這些方程解集的幾何結構。

符號

在整本書中，環通常被視為交換環，具有單位元，並且$k$將表示代數封閉域。

預備知識

為了在這個學科中取得進展，我們必須回顧交換代數（即交換環的研究）中的一些結果。

歷史

代數幾何領域最初是由伊斯蘭數學家開發的，例如波斯數學家歐瑪爾·海亞姆。