代數拓撲/奇異同調

定義（標準 n-單純形）:

標準 $n$-單純形 是集合

$\Delta _{n}:=\left\{(t_{0},\ldots ,t_{n}){\big |}\forall 0\leq j\leq n:t_{j}\geq 0\wedge \sum _{j=0}^{n}t_{j}=1\right\}$.

定義（奇異鏈復形）:

令 $X$ 為拓撲空間。與 $X$ 相關的奇異鏈復形 是鏈復形 $C_{n}(X)$，其中它的第 $n$ 個群由所有連續函式 $\sigma :\Delta _{n}\to X$ 上的自由阿貝爾群給出，並且它的微分 $\partial :C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ 由以下公式的線性擴充套件給出

$\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\sigma _{j}$，對於連續的 $\sigma :\Delta _{n}\to X$，

其中 $\sigma _{j}:\Delta _{n-1}\to X,\sigma _{j}(t_{0},\ldots ,t_{n-1}):=\sigma (t_{0},\ldots ,t_{j-1},0,t_{j},\ldots ,t_{n-1})$.