應用數學/貝塞爾函式

貝塞爾函式

下面的方程稱為貝塞爾微分方程。

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0$

貝塞爾微分方程的兩個不同的解是以下兩對中的任意一個：（1）貝塞爾函式（也稱為第一類貝塞爾函式）和諾伊曼函式（也稱為第二類貝塞爾函式）的線性組合 （2）第一類漢克爾函式和第二類漢克爾函式的線性組合。 貝塞爾函式（第一類）記為 $\displaystyle J_{n}(x)$。 貝塞爾函式的定義如下：

$J_{n}(x)={\frac {x^{n}}{2^{n}\Gamma (1-n)}}(1-{\frac {x^{2}}{2(2n+2)}}+{\frac {x^{4}}{2\cdot 4(2n+2)(2n+4)}}-\cdots )$

$=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+n+1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+n}$

其中

$H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)+iN_{n}(x)$

$H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)-iN_{n}(x)$

$N_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}}$

Γ(z) 是伽瑪函式。 $i$ 是虛數單位。 $N_{n}(x)$ 是諾伊曼函式（或第二類貝塞爾函式）。 $H_{n}(x)$ 是漢克爾函式。 如果 n 是整數，第一類貝塞爾函式是一個整函式。