應用數學/復積分

復積分

在分段光滑曲線$C:z=z(t)$ $(a\leqq t\leqq b)$ 上，假設函式 f(z) 是連續的。那麼我們得到下面的方程。

$\int _{C}f(z)dz=\int _{a}^{b}f\{z(t)\}\ {\frac {dz(t)}{dt}}dt$

其中$f(z)$ 是複函式，$z$ 是復變數。

證明

令

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

$dz=dx+idy$

然後

$\int _{C}f(z)dz$

$=\int _{C}(u+iv)(dx+idy)$

$=\left(\int _{C}udx-\int _{C}vdy\right)+i\left(\int _{C}vdx-\int _{C}udy\right)$

方程的右邊是實積分，因此根據微積分，可以應用下面的關係。

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(x){\frac {dx}{dt}}dt$

因此

$\int _{C}f(z)dz$

$=\left(\int _{a}^{b}u{\frac {dx}{dt}}dt-\int _{a}^{b}v{\frac {dy}{dt}}dt\right)+i\left(\int _{a}^{b}v{\frac {dx}{dt}}dt-\int _{a}^{b}u{\frac {dy}{dt}}dt\right)$

$=\left(\int _{a}^{b}ux'(t)dt-\int _{a}^{b}vy'(t)dt\right)+i\left(\int _{a}^{b}vx'(t)dt-\int _{a}^{b}uy'(t)dt\right)$

$=(u+iv)\left(x'(t)+iy'(t)\right)dt$

$=\int _{a}^{b}f\{z(t)\}\ z'(t)dt$

證明完畢。