應用數學/傅立葉級數

對於函式$f(x)$，泰勒展開式是可能的。

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots$

這是$f(x)$的泰勒展開式。另一方面，更一般地，$f(x)$也可以透過正交函式展開。

傅立葉級數

對於函式$f(x)$，其週期為$2\pi$，定義如下系列

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)\cdots (1)$

這個級數被稱為$f(x)$的傅立葉級數。$a_{n}$和$b_{n}$被稱為傅立葉係數。

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx$

其中$n$是自然數。特別是當傅立葉級數等於$f(x)$時，（1）被稱為$f(x)$的傅立葉級數展開式。因此，傅立葉級數展開式定義如下

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$