應用數學/傅立葉變換

傅立葉變換

傅立葉變換將函式的時間域（紅色顯示）與函式的頻率域（藍色顯示）關聯起來。分佈在頻譜上的分量頻率在頻率域中表示為峰值。

傅立葉變換是將具有某些型別變數的函式，例如時間或空間座標，$f(t)$ 例如，轉換為具有頻率變數的函式。

定義

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-i2\pi t\xi }\,dt$...(1)

上述積分稱為傅立葉積分，而 ${\hat {f}}(\xi )$ 稱為 $f(t)$ 的 **傅立葉變換**。 $t$ 表示“時間”。 $\xi$ 表示“頻率”。

另一方面，逆傅立葉變換定義如下

$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi t\xi }\,d\xi$ ...(2)

在大學的教科書中，傅立葉變換通常是用角頻率 $\omega$ 變數引入的。換句話說，將 $\xi \rightarrow \omega =2\pi \xi$ 代入書中的 (1) 和 (2)。在這種情況下，傅立葉變換以兩種不同的方式寫出。

1.

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(t)e^{i\omega t}d\omega$

2.

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(t)e^{i\omega t}d\omega$