應用數學/拉格朗日方程

拉格朗日方程

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

其中 ${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$
上面的方程被稱為**拉格朗日方程**。

設質點的動能為 $T$，勢能為 $U$.
$T-U$ 稱為**拉格朗日量**。那麼動能可表示為

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}$

$={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})$

因此

$T=T({\dot {x}},{\dot {y}})$

$U=U(x,y)$

因此拉格朗日量 $L$ 為

$L=T-U$

$=T({\dot {x}},{\dot {y}})-U(x,y)$

$={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-U(x,y)$

因此，$T$ 僅依賴於 ${\dot {x}}$ 和 ${\dot {y}}$。 $U$ 僅依賴於 $x$ 和 $y$。 因此

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}$

同理，我們有

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$

${\frac {\partial L}{\partial y}}=-{\frac {\partial U}{\partial y}}$