應用數學/拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種積分變換，廣泛應用於物理學和工程學。

拉普拉斯變換涉及一種技術，使用反常積分將表示式轉換為更易於操作的形式。我們通常在微分方程的背景下引入拉普拉斯變換，因為我們經常使用它們來解決一些無法使用其他標準技術解決的微分方程。然而，拉普拉斯變換隻需要反常積分技術來使用。所以你可能在微積分的第一年就遇到了它們。

符號：拉普拉斯變換表示為 $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$.

拉普拉斯變換以數學家和天文學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯的名字命名。

你需要了解的主題 反常積分

定義

對於函式 $f(t)$，使用奈皮爾的常數 $e$ 和複數 $s$，拉普拉斯變換 $F(s)$ 定義如下

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

引數 $s$ 是一個複數。

$s=\sigma +i\omega ,\,$，其中實數 $\sigma$ 和 $\omega$.

這個 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的 **拉普拉斯變換**。

解釋

以下是發生的事情。

拉普拉斯變換的例子

拉普拉斯變換的例子

$f(t)$	$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$
$C$	${\frac {C}{s}}$
$t$	${\frac {1}{s^{2}}}$
$t^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}$	${\frac {1}{s^{n}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{s-a}}$
$e^{-at}$	${\frac {1}{s+a}}$
${\rm {cos}}\ \omega t$	${\frac {s}{s^{2}+{\omega }^{2}}}$
${\rm {sin}}\ \omega t$	${\frac {\omega }{s^{2}+{\omega }^{2}}}$
${\frac {t^{n-1}}{\Gamma (n)}}$	${\frac {1}{s^{n}}}$ (n>0)
$\delta (t-a)$	$e^{-as}$
$H(t-a)$	${\frac {e^{-as}}{s}}$

在上表中，

1. $C$ 和 $a$ 是常數
2. $n$ 是一個自然數
3. $\delta (t-a)$ 是狄拉克函式
4. $H(t-a)$ 是Heaviside 函式

ID	函式	時域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	收斂域 對於因果系統
1	理想延遲	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	單位脈衝	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {all} \ s\,$
2	延遲的n次方並頻移	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
2a	n次方	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	q次方	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	單位階躍	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	延遲單位階躍	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	斜坡	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	n次冪，頻移	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	指數衰減	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	指數趨近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	餘弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
6	雙曲正弦	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	雙曲餘弦	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	指數衰減正弦	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	指數衰減餘弦	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	n次根	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0\,$
11	自然對數	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	貝塞爾函式 第一類，n階	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	修正貝塞爾函式 第一類，n階	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	貝塞爾函式 第二類，零階	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	修正貝塞爾函式 第二類，零階	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	誤差函式	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
17	常數	$C$	$\displaystyle {\frac {C}{s}}$
解釋說明 $u(t)\,$ 代表Heaviside階躍函式。 $\delta (t)\,$ 代表Dirac delta函式。 $\Gamma (z)\,$ 代表Gamma函式。 $\gamma \,$ 是尤拉-馬斯刻羅尼常數。 $t\,$，一個實數，通常代表時間， 但它也可以代表任何獨立維度。 $s\,$ 是復角頻率。 $\alpha \,$，$\beta \,$，$\tau \,$，$\omega \,$ 和 $C$ 都是實數。 $n\,$ 是一個整數。 因果系統是指在所有時間 t 小於 t = 0 時，其衝激響應 h(t) 為零的系統。一般來說，因果系統的 ROC 與反因果系統的 ROC 不同。另見因果關係。

示例

1. 使用積分定義計算 ${\mathcal {L}}\{C\}$ （其中 $C$ 是一個常數）。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{0}^{\infty }e^{-st}C\,dt}&=&C\displaystyle {\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt}\\&=&\displaystyle {C\lim _{b\to \infty }{\int _{0}^{b}e^{-st}\,dt}}\\&=&\displaystyle {\left.C\lim _{b\to \infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}\right|_{t=0}^{t=b}}\\&=&\displaystyle {-{\frac {C}{s}}\left[\lim _{b\to \infty }{e^{-bs}}-e^{0}\right]}\\&=&\displaystyle {-{\frac {C}{s}}[0-1]}\\&=&\displaystyle {\frac {C}{s}}\end{array}}$

$\therefore \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{C\right\}={\frac {C}{s}}$

---

2. 使用積分定義計算 ${\mathcal {L}}\{e^{-at}\}$。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}\cdot e^{-at}\,dt&=&\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-(s+a)t}\,dt\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\displaystyle \int _{0}^{b}e^{-(s+a)t}\,dt}\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }\left[\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)t}}{s+a}}\right]_{t=0}^{t=b}\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }\left[\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)b}}{s+a}}-\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)0}}{s+a}}\right]\\&=&\displaystyle {\frac {1}{s+a}}\end{array}}$

$\therefore {\mathcal {L}}\{e^{-at}\}=\displaystyle {\frac {1}{s+a}}$