應用數學/帕塞瓦爾定理

帕塞瓦爾定理

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$

其中 $X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}$ 代表 x(t) 的連續傅立葉變換，而 f 代表 x 的頻率分量。上述函式稱為 **帕塞瓦爾定理**。

推導

令 ${\bar {X}}(f)$ 為 $X(f)$ 的複共軛。

$X(-f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(-t)e^{-ift}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{ift}$

$={\bar {X}}(f)$

$\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$

這裡，我們知道 $X(f)$ 等於 $x(t)$ 在傅立葉變換中展開的係數。
因此，$|X(f)|^{2}$ 的積分是

$\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {X}}(f)X(f)\,df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{ift}dt\right)\left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }x(t')e^{-ift'}dt'\right)df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x(t')\left({\frac {1}{2\pi }}e^{-if(t-t')}df\right)dtdt'$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x(t')\delta (t-t')dtdt'$

$=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt$

因此

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$