應用數學/基礎

線性代數基礎

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{12}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{bmatrix}}.$

矩陣是由排列成行和列的數字矩形陣列組成。水平線稱為行，垂直線稱為列。矩陣中的單個專案稱為元素。矩陣中第 i 行和第 j 列的元素稱為矩陣的 i，j，（i，j）或（i，j）元素。為了指定矩陣的大小，具有 m 行和 n 列的矩陣稱為 m 行 n 列矩陣，m 和 n 稱為其維數。

基本運算

運算	定義	示例
加法	兩個m行n列矩陣A和B的和A+B是按元素計算的 (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j，其中 1 ≤ i ≤ m 且 1 ≤ j ≤ n。	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
標量乘法	矩陣A和數字c（在抽象代數中也稱為標量）的標量乘法cA是透過將A的每個條目乘以c來給出的 (cA)i,j = c · Ai,j。	$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$
轉置	m行n列矩陣A的轉置是n行m列矩陣AT（也記為Atr或tA），透過將行變成列，反之亦然 (AT)i,j = Aj,i。	${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

練習題

(1) ${\begin{bmatrix}5&7&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4&0&5\\8&3&0\end{bmatrix}}=$
(2) $4{\begin{bmatrix}-1&0&-5\\7&9&-6\end{bmatrix}}=$
(3) ${\begin{bmatrix}-2&5&7\\0&0&9\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }=$

矩陣乘法

兩個矩陣的乘法僅當左側矩陣的列數等於右側矩陣的行數時才定義。如果 A 是一個 m×n 矩陣，而 B 是一個 n×p 矩陣，那麼它們的矩陣積 AB 是一個 m×p 矩陣，其條目由 A 的對應行與 B 的對應列的點積給出。^[2]

$[\mathbf {AB} ]_{i,j}=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}$^[3]

兩個矩陣 **A** 和 **B** 的矩陣積 **AB** 的示意圖。

示例

${\begin{bmatrix}-2&0\\3&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}-2+0&-4+0\\3+6&6+(-2)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}-2&-4\\9&4\end{bmatrix}}$

練習題

(1) ${\begin{bmatrix}1&0\\2&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}}=$

(2) ${\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}}=$

點積

**行向量** 是一個 1×m 矩陣，而 **列向量** 是一個 m×1 矩陣。

假設 A 是行向量，B 是列向量，那麼點積定義如下；

$A\cdot B=|A||B|cos\theta$

或者

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

假設 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$ 點積為

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

示例

假設 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}7\\5\\4\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\5\\4\end{pmatrix}}$

$=2\cdot 7+1\cdot 5+3\cdot 4$
$=14+5+12$

$=31$

練習題

(1) $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =$

(2) $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}$ 以及 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6\\9\\2\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =$

叉積

叉積定義如下

$A\times B=|A||B|sin\theta$

或者，使用行列式，

$\mathbf {A\times B} ={\begin{vmatrix}e_{x}&e_{y}&e_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

其中 $e$ 是單位向量。