應用數學/傅立葉變換理論基礎

基礎

傅立葉變換理論中最重要的兩件事是“微積分”和“積分學”。 讀者在學習傅立葉變換理論之前需要學習“微積分”和“積分學”。 因此，我們將在本頁學習它們。

微積分

以黑色繪製的函式圖形，以及以紅色繪製的該函式的切線。 切線的斜率等於函式在標記點的導數。

微分是找到函式 $f(x)$ 在獨立輸入 x 中的導數的過程。 $f(x)$ 的微分表示為 $f'(x)$ 或 ${\frac {d}{dx}}f(x)$。 這兩種符號都是相同的含義。

微分操作如下
${\frac {d}{dx}}(x^{3}+1)$
$=3x^{3-1}$
$=3x^{2}$

如您所見，在微分中，變數次數的數字乘以變數，同時次數本身減去 1。 不包含變數 $x$ 的項在微分中直接被移除。

示例

${\frac {d}{dx}}(x^{5}+x^{2}+28)$
$=5x^{5-1}+2x^{2-1}$ 28 不包含變數 x，因此 28 被移除
$=5x^{4}+2x^{1}$
$=5x^{4}+2x$

${\frac {d}{dx}}(x^{7}+x^{4}+x+7)$
$=7x^{7-1}+4x^{4-1}+1x^{1-1}$ 7 不包含變數 x，因此 7 被移除
$=7x^{6}+4x^{3}++1x^{0}$
$=7x^{6}+4x^{3}+1$

練習題

(1)${\frac {d}{dx}}(x^{4}+15)=$

(2)${\frac {d}{dx}}(x^{5}+x^{3}+x)=$

積分學

如果你對 $f(x)=x^{3}$ 或 $f(x)=x^{3}-2$ 進行微分，它們都會變成 $f'(x)=3x^{2}$。那麼讓我們考慮相反的情況。給定一個函式，當對該函式進行微分時，該函式變成了 $f'(x)=3x^{2}$。原始函式是什麼？為了找到原始函式，使用了**積分學**。$f(x)$ 的積分表示為 $\int f(x)dx$。

積分的運算如下
$\int 3x^{2}dx$
$={\frac {3x^{2+1}}{2+1}}+C$
$=x^{3}+C$
$C$ 代表方程中的常數。

更一般地說，f(x) 的積分定義為

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

定積分

定積分定義如下
$\int _{a}^{b}f(x)dx$
$=[F(x)]_{a}^{b}$
$=F(b)-F(a)$
其中 $F(x)=\int f(x)dx$

示例

(1)$\int 4xdx$
$={\frac {4x^{1+1}}{1+1}}+C$
$=2x^{2}+C$

(2)$\int _{1}^{2}(2x+1)dx$
$=[x^{2}+x]_{1}^{2}$
$=(4+2)-(1+1)$
$=4$

練習題

(1)$\int 6xdx=$
(2)$\int _{0}^{2}(3x^{2}+3)dx=$

尤拉數 "e"

尤拉數 $e$（也稱為奈皮爾常數）在微分和積分中有特殊特性

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

順便說一句，在數學中，$exp(x)$ 表示 $e^{x}$.