算術/根式

根式

根式是一種特殊的數字，它是多項式方程式的根。首先，讓我們看一下一種特定的根式，即“平方根”。它是一種與平方相關的特殊數字。

當我們有一個數字，比如 2，什麼正數在平方後會給我們 2 呢？

• 1 × 1 = 1，所以這個數字必須大於 1。
• 2 × 2 = 4，所以這個數字必須小於 2。
• 1.5 × 1.5 = 2.25，所以這個數字必須小於 1.5。

我們可以無限地繼續下去，每一步都越來越接近答案（這種細化答案的過程稱為迭代）。我們正在尋找的數字大約是 1.41421…

顯然，這對我們來說很難處理，所以我們有一個特殊的符號。對於一個數字 *a*，我們寫 ${\sqrt {a}}$ 來表示平方後會給我們 *a* 的數字。

由於這是平方的逆運算，它也可以表示為 a^1/2 並且
$(a^{1/2})^{2}=a^{1}=a$.

我們可以將這個概念擴充套件到其他型別的根式。 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 表示數字 $x$，使得
$x^{3}=a$。例如， ${\sqrt[{3}]{7}}=1.91293...$

請注意，不可能找到任何實數，其平方為負數。與負數相乘會改變被乘數的符號，因此兩個負號會相互抵消。例如，-7 × -7 = 49，同樣 7 × 7 = 49。因此，負數的平方根是一個未定義的操作，除非允許虛數作為答案。

化簡根式

要化簡一個根式，你需要找到根式下數字的最大完全平方因子。

${\sqrt {162}}$

一旦你找到一個完全平方因子，你就可以將根式下的數字表示為兩個因子的乘積。

${\sqrt {81*2}}$

然後，你可以將完全平方因子的平方根從根式中提出，並將其放在根式外。

$9{\sqrt {2}}$

一旦你將所有完全平方因子都提出，你就化簡了這個根式。

有理化分母

“有理化分母”僅僅是將分母中的根去除。這是必要的，因為將根留在分母中是不合適的。為了有理化分母，你只需要用分母中的根乘以分子和分母。例如

${4 \over {\sqrt {5}}}={4{\sqrt {5}} \over ({\sqrt {5}})^{2}}={4{\sqrt {5}} \over 5}$

如果可以化簡，就進行化簡。

${10 \over {\sqrt {5}}}={10{\sqrt {5}} \over ({\sqrt {5}})^{2}}={10{\sqrt {5}} \over 5}={2{\sqrt {5}}}$

${4 \over {\sqrt {8}}}={{4} \over {\sqrt {(4*2)}}}={{4} \over {2}{\sqrt {2}}}={{4{\sqrt {2}}} \over {2{{\sqrt {2}}^{2}}}}={{4{\sqrt {2}}} \over {4}}={\sqrt {2}}$

對根式的運算

加法和減法

只有當根號內的數字相同時，才能進行根式的加法和減法。例如，考慮以下表達式

${{\sqrt {7}}+{\sqrt {28}}}$

由於它們的形式不同，因此無法直接相加。但是，下面的等式簡化了第二項，得到了以下結果

${{\sqrt {7}}+{\sqrt {4*7}}}={{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

現在，這些項可以相加（或相減）。另外，係數為 1 通常不寫，所以

${{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}={1{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}={3{\sqrt {7}}}$

減法和加法操作一樣，只是係數的加法變成了減法。

我們之所以可以這樣做，是因為分配律。證明起來非常簡單，如下所示

${{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

記住，係數為 1 通常不寫，因此這個等式也可以寫成

${1{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

然後，我們從表示式中提取 ${\sqrt {7}}$

${{\sqrt {7}}*(1+2)}$

我們都知道 ${1+2}={3}$，所以

${{\sqrt {7}}*(3)}={3{\sqrt {7}}}$

乘法和除法

根式的乘法和除法非常簡單。乘法幾乎不需要任何操作。當給定兩個需要相乘的根式時，只需將根號內的數字相乘，並將乘積放在根號下即可。考慮以下等式

${{\sqrt {11}}*{\sqrt {5}}}={\sqrt {55}}$

然而，除法略有不同。本頁前面提到的一個除法概念是將除法題寫成分數。以下等式用常數（普通數字）說明了這個概念

${{1}\div {2}}={{1} \over {2}}={0.5}$

同樣的概念也適用於以下等式

${{\sqrt {10}}\div {\sqrt {3}}}={{\sqrt {10}} \over {\sqrt {3}}}$

然後你可以用本頁前面在有理化分母下找到的技術來有理化表示式 ${{\sqrt {10}} \over {\sqrt {3}}}$

練習

簡化根式

1

${\sqrt {50}}=$ $\surd$

2

${\sqrt {392}}=$ $\surd$

3

${\sqrt {290}}=$ $\surd$

有理化分母

4

${2 \over {\sqrt {4}}}=$ $\surd$

5

${3 \over {\sqrt {7}}}=$ $\surd$

6

${11 \over {\sqrt {72}}}=$ $\surd$

7

${396 \over {\sqrt {11}}}=$ $\surd$

計算

8

${{\sqrt {2}}+{\sqrt {8}}}=$ $\surd$

9

${{\sqrt {60}}-{\sqrt {15}}}=$ $\surd$

10

${{\sqrt {13}}\times {\sqrt {7}}}=$ $\surd$

11

${{\sqrt {17}}\div {\sqrt {5}}}=$ $\surd$