基礎代數/因式分解/分解 a^2-b^2 二項式

詞彙

平方差

任何形式為 $a^{2}-b^{2}$ 的二項式可以寫成 $(a+b)\cdot (a-b)$ 。也就是說

$a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)$ .

示例 1： 分解 $x^{2}-9$ 。

這很明顯，只需取 $a^{2}=x^{2}$ 和 $b^{2}=9$ ，所以 $b=3$ 。因此 $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$

示例 2： $32w^{4}-162$ 。

這裡，由於 32 不是完全平方數，因此不清楚我們是否可以使用平方差。但是，如果我們仔細觀察，我們會發現我們可以提取出 2 的公因數。

$32w^{4}-162=2(16w^{4}-81)$

現在我們看到可以使用平方差來簡化問題，取 $a^{2}=16w^{4}$ 和 $b^{2}=81$

$2(16w^{4}-81)=2(4w^{2}-9)(4w^{2}+9)$

現在我們注意到可以在第一個因數中再次使用平方差得到

$2(4w^{2}-9)(4w^{2}+9)=2(2w+3)(2w-3)(4w^{2}+9)$

現在，該式已完全分解。

這引出了我們的下一個要點，即 $a^{2}+b^{2}$ 是不可分解的（至少在本課程中是這樣）。

設 a = b

因此：a^2 = ab

因此：a^2 - b^2 = ab - b^2

因此：(a + b)(a - b) = b(a - b)

現在將等式兩邊同時除以 (a - b)

因此：a + b = b

但由於 a = b，將 b 代入 a

因此：b + b = b

因此：2b = b

現在將等式兩邊同時除以 b

因此：2 = 1

證畢

這行不通，因為在第 5 行中，等式兩邊都除以了 (a-b)。現在，我們知道 a = b，因此 (a - b) = 0。這意味著在第 5 行中，等式兩邊都除以了 0，這是不允許的。如果允許除以零，那麼可以用很多方法來證明虛假，這就是為什麼這是不可能的。

使用 ^ 表示指數